Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika $ f(x) = \frac{1}{x^2 + 4} $ , maka ...
(1). $ f^\prime (0) \, $ tidak ada
(2). $ f^\prime (-1) = \frac{1}{25} $
(3). fungsi naik untuk $ x > 0 $
(4). $ y = -\frac{2}{25}x + \frac{7}{25} \, $ adalah persamaan garis singgung di $ x = 1 $
Jika $ f(x) = \frac{1}{x^2 + 4} $ , maka ...
(1). $ f^\prime (0) \, $ tidak ada
(2). $ f^\prime (-1) = \frac{1}{25} $
(3). fungsi naik untuk $ x > 0 $
(4). $ y = -\frac{2}{25}x + \frac{7}{25} \, $ adalah persamaan garis singgung di $ x = 1 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[f(x)]^{n-1} . f^\prime (x) $
*). Persamaan garis kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1,y_1) $ :
$ y - y_1 = m(x-x_1) $
dengan $ m = f^\prime (x_1) $
*). Suatu fungsi $ f(x) $ atau $ f^\prime (x) $ tidak ada di $ a $ jika hasilnya $ f(a) = \frac{b}{0} $ dan $ f^\prime (a) = \frac{c}{0} $ , dimana $ a, b, c $ adalah bilangan real.
*). Interval fungsi $ f(x) $ naik ketika $ f^\prime (x) > 0 $
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[f(x)]^{n-1} . f^\prime (x) $
*). Persamaan garis kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1,y_1) $ :
$ y - y_1 = m(x-x_1) $
dengan $ m = f^\prime (x_1) $
*). Suatu fungsi $ f(x) $ atau $ f^\prime (x) $ tidak ada di $ a $ jika hasilnya $ f(a) = \frac{b}{0} $ dan $ f^\prime (a) = \frac{c}{0} $ , dimana $ a, b, c $ adalah bilangan real.
*). Interval fungsi $ f(x) $ naik ketika $ f^\prime (x) > 0 $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahuui : $ f(x) = \frac{1}{x^2 + 4} = (x^2 + 4)^{-1} $
*). Menentukan $ f^\prime (x) $ :
$\begin{align} f(x) & = (x^2 + 4)^{-1} \\ f ^\prime (x) & = -1. (x^2 + 4)^{-1-1} . 2x \\ f ^\prime (x) & = (x^2 + 4)^{-2} .(- 2x) \\ f ^\prime (x) & = \frac{-2x}{(x^2+4)^2} \end{align} $
*). Kita cek setiap pernyataan :
-). Pernyataan (1). $ f^\prime (0) \, $ tidak ada ?
$ f ^\prime (0) = \frac{-2.0}{(0^2+4)^2} = \frac{0}{16} = 0 $ ($f^\prime (0) \, $ ada)
Pernyataan (1) SALAH.
-). Pernyataan (2). $ f^\prime (-1) = \frac{1}{25} $ ?
$ f ^\prime (-1) = \frac{-2.(-1)}{((-1)^2+4)^2} = \frac{2}{25} $
Pernyataan (2) SALAH.
-). Pernyataan (3). fungsi naik untuk $ x > 0 $ ?
$\begin{align} f^\prime (x) & > 0 \, \, \, \, \, \text{(syarat naik)} \\ \frac{-2x}{(x^2+4)^2} & > 0 \end{align} $
Karena $ x^2 + 4 $ selalu bernilai positif, agar $ \frac{-2x}{(x^2+4)^2} > 0 $ maka haruslah $ -2x > 0 $ juga.
$ -2x > 0 \rightarrow x < 0 $.
Artinya $ f(x) $ naik pada interval $ x < 0 $.
Pernyataan (3) SALAH.
-). Pernyataan (4). $ y = -\frac{2}{25}x + \frac{7}{25} \, $ adalah persamaan garis singgung di $ x = 1 $ ?
Gradien : $ m = f^\prime (1) = \frac{-2.1}{(1^2+4)^2} = \frac{-2}{25} $
Nilai $ y_1 = f(1) = \frac{1}{1^2 + 4} = \frac{1}{5} $
Menyusun garis singgung di $ (x_1,y_1) = (1, \frac{1}{5}) $ dan $ m = \frac{-2}{25} $ :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - \frac{1}{5} & = \frac{-2}{25} ( x - 1) \\ y - \frac{1}{5} & = \frac{-2}{25} x + \frac{2}{25} \\ y & = \frac{-2}{25} x + \frac{2}{25} + \frac{1}{5} \\ y & = \frac{-2}{25} x + \frac{7}{25} \end{align} $
Garis singgungnya adalah $ y = \frac{-2}{25} x + \frac{7}{25} $
Pernyataan (4) BENAR.
Karena yang BENAR pernyataan (4), jawabannya D.
Jadi, yang BENAR pernyataan (4) $ . \, \heartsuit $
*). Diketahuui : $ f(x) = \frac{1}{x^2 + 4} = (x^2 + 4)^{-1} $
*). Menentukan $ f^\prime (x) $ :
$\begin{align} f(x) & = (x^2 + 4)^{-1} \\ f ^\prime (x) & = -1. (x^2 + 4)^{-1-1} . 2x \\ f ^\prime (x) & = (x^2 + 4)^{-2} .(- 2x) \\ f ^\prime (x) & = \frac{-2x}{(x^2+4)^2} \end{align} $
*). Kita cek setiap pernyataan :
-). Pernyataan (1). $ f^\prime (0) \, $ tidak ada ?
$ f ^\prime (0) = \frac{-2.0}{(0^2+4)^2} = \frac{0}{16} = 0 $ ($f^\prime (0) \, $ ada)
Pernyataan (1) SALAH.
-). Pernyataan (2). $ f^\prime (-1) = \frac{1}{25} $ ?
$ f ^\prime (-1) = \frac{-2.(-1)}{((-1)^2+4)^2} = \frac{2}{25} $
Pernyataan (2) SALAH.
-). Pernyataan (3). fungsi naik untuk $ x > 0 $ ?
$\begin{align} f^\prime (x) & > 0 \, \, \, \, \, \text{(syarat naik)} \\ \frac{-2x}{(x^2+4)^2} & > 0 \end{align} $
Karena $ x^2 + 4 $ selalu bernilai positif, agar $ \frac{-2x}{(x^2+4)^2} > 0 $ maka haruslah $ -2x > 0 $ juga.
$ -2x > 0 \rightarrow x < 0 $.
Artinya $ f(x) $ naik pada interval $ x < 0 $.
Pernyataan (3) SALAH.
-). Pernyataan (4). $ y = -\frac{2}{25}x + \frac{7}{25} \, $ adalah persamaan garis singgung di $ x = 1 $ ?
Gradien : $ m = f^\prime (1) = \frac{-2.1}{(1^2+4)^2} = \frac{-2}{25} $
Nilai $ y_1 = f(1) = \frac{1}{1^2 + 4} = \frac{1}{5} $
Menyusun garis singgung di $ (x_1,y_1) = (1, \frac{1}{5}) $ dan $ m = \frac{-2}{25} $ :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - \frac{1}{5} & = \frac{-2}{25} ( x - 1) \\ y - \frac{1}{5} & = \frac{-2}{25} x + \frac{2}{25} \\ y & = \frac{-2}{25} x + \frac{2}{25} + \frac{1}{5} \\ y & = \frac{-2}{25} x + \frac{7}{25} \end{align} $
Garis singgungnya adalah $ y = \frac{-2}{25} x + \frac{7}{25} $
Pernyataan (4) BENAR.
Karena yang BENAR pernyataan (4), jawabannya D.
Jadi, yang BENAR pernyataan (4) $ . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.