Tampilkan postingan dengan label simak ui matdas 2018 kode 632. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label simak ui matdas 2018 kode 632. Tampilkan semua postingan

Pembahasan Statistika Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Rata-rata tiga bilangan adalah 10 lebihnya dibandingkan dengan bilangan terkecil dan 8 kurangnya dibandingkan dengan bilangan terbesar. Jika median ketiga bilangan tersebut adalah 14, maka ...
(1). jangkauannya adalah 18
(2). variansinya adalah 84
(3). jumlahnya adalah 36
(4). simpangan rata-ratanya adalah $ \frac{20}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus hitungan pada statistika :
-). Jangkauan = nilai terbesar $ - $ nilai terkecil
-). Variansi data sampel :
$ V = \frac{(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + ... + (x_n - \overline{x})^2}{n-1} $
-). Simpangan rata-rata :
$ SR = \frac{|x_1-\overline{x}| + |x_2-\overline{x}| + ... + |x_n-\overline{x}| }{n} $
Keterangan :
$ n = \, $ banyak data atau banyak nilai
$ \overline{x} = \, $ rata-rata
$ x_1 = \, $ nilai pertama
$ x_2 = \, $ nilai kedua
$ |a| = \, $ nilai mutlak dari $ a $ (selalu positif)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan nilainya $ a, b, c $ yang sudah diurutkan.
*). Menyusun persamaannya :
-). Persamaan pertama : Rata-rata tiga bilangan adalah 10 lebihnya dibandingkan dengan bilangan terkecil
$ \frac{a+b+c}{3} = a + 10 \, $ .....(i)
-). Persamaan kedua : Rata-rata tiga bilangan adalah 8 kurangnya dibandingkan dengan bilangan terbesar
$ \frac{a+b+c}{3} = c - 8 \, $ .....(ii)
-). Median = 14 artinya $ b = 14 $
*). Dari pers(i) dan pers(ii) :
$ a + 10 = c - 8 \rightarrow c = a + 18 \, $ .....(iii)
*). Pers(i) beserta $ b = 14 $ dan pers(iii) :
$\begin{align} \frac{a+b+c}{3} & = a + 10 \\ \frac{a+14+ (a + 18) }{3} & = a + 10 \\ 2a + 32 & = 3a + 30 \\ a & = 2 \end{align} $
Sehingga $ c = a + 18 = 2 + 18 = 20 $
Datanya yaitu $ 2, \, 14, \, 20 $
rata-ratanya : $ \overline = \frac{2 + 14 + 20}{3} = \frac{36}{3} = 12 $

*). Kita cek setiap pernyataan :
-). Pernyataan (1). jangkauannya adalah 18?
Jangkauan $ = 20 - 2 = 18 $
Pernyataan (1) BENAR.

-). Pernyataan (2). variansinya adalah 84 ?
$ v = \frac{(2-12)^2 + (14-12)^2 + (20 -12)^2}{3 -1} = \frac{168}{2} = 84 $
Pernyataan (2) BENAR.

-). Pernyataan (3). jumlahnya adalah 36 ?
Jumlahnya $ = 2 + 14 + 20 = 36 $
Pernyataan (3) BENAR.

-). Pernyataan (4). simpangan rata-ratanya adalah $ \frac{20}{3} $ ?
$ SR = \frac{|2-12| + |14-12| + |20-12|}{3} = \frac{20}{3} $
Pernyataan (4) BENAR.

Karena yang Semua Pernyataan BENAR), jawabannya E.
Jadi, semua pernyataan BENAR $ . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Turunan Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika $ f(x) = \frac{1}{x^2 + 4} $ , maka ...
(1). $ f^\prime (0) \, $ tidak ada
(2). $ f^\prime (-1) = \frac{1}{25} $
(3). fungsi naik untuk $ x > 0 $
(4). $ y = -\frac{2}{25}x + \frac{7}{25} \, $ adalah persamaan garis singgung di $ x = 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[f(x)]^{n-1} . f^\prime (x) $
*). Persamaan garis kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1,y_1) $ :
$ y - y_1 = m(x-x_1) $
dengan $ m = f^\prime (x_1) $
*). Suatu fungsi $ f(x) $ atau $ f^\prime (x) $ tidak ada di $ a $ jika hasilnya $ f(a) = \frac{b}{0} $ dan $ f^\prime (a) = \frac{c}{0} $ , dimana $ a, b, c $ adalah bilangan real.
*). Interval fungsi $ f(x) $ naik ketika $ f^\prime (x) > 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahuui : $ f(x) = \frac{1}{x^2 + 4} = (x^2 + 4)^{-1} $
*). Menentukan $ f^\prime (x) $ :
$\begin{align} f(x) & = (x^2 + 4)^{-1} \\ f ^\prime (x) & = -1. (x^2 + 4)^{-1-1} . 2x \\ f ^\prime (x) & = (x^2 + 4)^{-2} .(- 2x) \\ f ^\prime (x) & = \frac{-2x}{(x^2+4)^2} \end{align} $
*). Kita cek setiap pernyataan :
-). Pernyataan (1). $ f^\prime (0) \, $ tidak ada ?
$ f ^\prime (0) = \frac{-2.0}{(0^2+4)^2} = \frac{0}{16} = 0 $ ($f^\prime (0) \, $ ada)
Pernyataan (1) SALAH.

-). Pernyataan (2). $ f^\prime (-1) = \frac{1}{25} $ ?
$ f ^\prime (-1) = \frac{-2.(-1)}{((-1)^2+4)^2} = \frac{2}{25} $
Pernyataan (2) SALAH.

-). Pernyataan (3). fungsi naik untuk $ x > 0 $ ?
$\begin{align} f^\prime (x) & > 0 \, \, \, \, \, \text{(syarat naik)} \\ \frac{-2x}{(x^2+4)^2} & > 0 \end{align} $
Karena $ x^2 + 4 $ selalu bernilai positif, agar $ \frac{-2x}{(x^2+4)^2} > 0 $ maka haruslah $ -2x > 0 $ juga.
$ -2x > 0 \rightarrow x < 0 $.
Artinya $ f(x) $ naik pada interval $ x < 0 $.
Pernyataan (3) SALAH.

-). Pernyataan (4). $ y = -\frac{2}{25}x + \frac{7}{25} \, $ adalah persamaan garis singgung di $ x = 1 $ ?
Gradien : $ m = f^\prime (1) = \frac{-2.1}{(1^2+4)^2} = \frac{-2}{25} $
Nilai $ y_1 = f(1) = \frac{1}{1^2 + 4} = \frac{1}{5} $
Menyusun garis singgung di $ (x_1,y_1) = (1, \frac{1}{5}) $ dan $ m = \frac{-2}{25} $ :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - \frac{1}{5} & = \frac{-2}{25} ( x - 1) \\ y - \frac{1}{5} & = \frac{-2}{25} x + \frac{2}{25} \\ y & = \frac{-2}{25} x + \frac{2}{25} + \frac{1}{5} \\ y & = \frac{-2}{25} x + \frac{7}{25} \end{align} $
Garis singgungnya adalah $ y = \frac{-2}{25} x + \frac{7}{25} $
Pernyataan (4) BENAR.

Karena yang BENAR pernyataan (4), jawabannya D.
Jadi, yang BENAR pernyataan (4) $ . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Komposisi Fungsi Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Diketahui fungsi $ f(x) $ adalah fungsi linear dan $ g(x) = \frac{2x+1}{x} + 1 $ . Jika $ (g \circ f)(x) = 3 + \frac{1}{2x+1} $ , pernyataan yang benar adalah ...
(1). $ a - b = 1 $
(2). $ a - b = 2 $
(3). $ a + b = 3 $
(4). $ a + b = 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Komposisi fungsi :
$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $
(Fungsi kanan masuk ke fungsi kiri)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahuui : $ g(x) = \frac{2x+1}{x} + 1 $
Sehingga $ g(f(x)) = \frac{2f(x)+1}{f(x)} + 1 $
*). Menentukan fungsi $ f(x) $ :
$\begin{align} (g \circ f)(x) & = 3 + \frac{1}{2x+1} \\ g(f(x)) & = 3 + \frac{1}{2x+1} \\ \frac{2f(x)+1}{f(x)} + 1 & = 3 + \frac{1}{2x+1} \\ \frac{2f(x)+1}{f(x)} & = 2 + \frac{1}{2x+1} \\ \frac{2f(x)+1}{f(x)} & = \frac{4x + 3}{2x+1} \\ f(x) [ 4x + 3] & = (2f(x) + 1)(2x + 1) \\ f(x) [ 4x + 3] & = 2f(x) (2x + 1) + (2x + 1) \\ f(x) [ 4x + 3] - 2f(x) (2x + 1) & = (2x + 1) \\ f(x) [ 4x + 3] - f(x) (4x + 2) & = (2x + 1) \\ f(x) [ (4x + 3) - (4x + 2) ] & = (2x + 1) \\ f(x) [1 ] & = (2x + 1) \\ f(x) & = 2x + 1 \end{align} $
Kita peroleh $ f(x) = 2a + 1 $
Bentuk $ f(x) = 2x + 1 $ sama dengan $ f(x) = ax + b $ sehingga $ a = 2 $ dan $ b = 1 $
*). Menentukan nilai sesuai pernyataan yang ada :
$\begin{align} a - b & = 2 - 1 = 1 \\ a + b & = 2 + 1 = 3 \end{align} $
Sehingga pernyataan (1) dan (3) yang BENAR, jawabannya B
Jadi, yang BENAR pernyataan (1) dan (3) $ . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Invers Fungsi Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = ax + b $ dan $ f^{-1} (x) = bx + a $ dengan $ a, b \in R $, maka $ (a+b)^2 = ... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 9 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi fungsi invers :
$ y = f(x) \Leftrightarrow x = f^{-1} (y) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahuui : $ f(x) = ax + b $ dan $ f^{-1} (x) = bx + a $
*). Menentukan invers fungsi $ f(x) = ax + b $ :
$\begin{align} f(x) & = ax + b \\ y & = ax + b \\ ax & = y - b \\ x & = \frac{y - b}{a} \\ x & = \frac{1}{a}y - \frac{b}{a} \\ f^{-1} & = \frac{1}{a}x - \frac{b}{a} \end{align} $
*). Kita peroleh $ f^{-1} = \frac{1}{a}x - \frac{b}{a} $ dan diketahui $ f^{-1} (x) = bx + a $, sehingga berlaku kesamaan :
$\begin{align} \frac{1}{a}x - \frac{b}{a} & = bx + a \end{align} $
yang aritnya :
$ \frac{1}{a} = b \rightarrow ab = 1 \, $ ....(i)
$ - \frac{b}{a} = a \rightarrow b = -a^2 \, $ .....(ii)
*). Substitusi pers(ii) ke pers(i) :
$\begin{align} ab & = 1 \\ a. -a^2 & = 1 \\ -a^3 & = 1 \\ a^3 & = -1 \\ a & = -1 \end{align} $
Pers(ii): $ b = -a^2 = -(-1)^2 = -1 $
*). Menentukan nilai $ (a+b)^2 $ :
$\begin{align} (a+b)^2 & = [(-1) + (-1)]^2 = (-2)^2 = 4 \end{align} $
Jadi, nilai $ (a+b)^2 = 4 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Bidang Datar Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan sebuah segitiga siku-siku ABC yang siku-siku di B dengan $ AB = 6 $ dan $ BC = 8 $. Titik M, N berturut-turut berada pada sisi AC sehingga $ AM : MN : NC = 1 : 2 : 3 $. Titik P dan Q secara berurutan berada pada sisi AB dan BC sehingga AP tegak lurus PM dan BQ tegak lurus QN. Luas segilima PMNQB adalah ...
A). $ 21\frac{1}{3} \, $ B). $ 20\frac{1}{3} \, $ C). $ 19\frac{1}{3} \, $ D). $ 18\frac{1}{3} \, $ E). $ 17\frac{1}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas segitiga = $ \frac{1}{2} \times $ alas $ \times $ tinggi
*). Konsep kesebangunan :
-). Misalkan $\Delta PQR $ sebangun dengan $ \Delta MNO $, dan perbandingan salah satu sisi yang bersesuaian $ a : b $ , maka perbandingan luasnya yaitu : $ \text{Luas PQR} : \text{Luas MNO} = a^2 : b^2 $.
-). Dua segitiga dikatakan sebangun jika ketiga sudut yang bersesuaian besarnya sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya :
 
Luas ABC $ = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 $
*). Dari gambar kita peroleh :
-) segitiga APM sebangun dengan segitiga ABC
-) segitiga CNQ sebangun dengan segitiga ABC
-). $ AM : AC = 1 : 6 $ dan $ NC : AC = 3 : 6 = 1 : 2 $
*). Menentukan luas segitiga APM :
$\begin{align} \frac{\text{Luas APM}}{\text{Luas ABC}} & = \frac{AM^2}{AC^2} \\ \frac{\text{Luas APM}}{24} & = \frac{1^2}{6^2} \\ \frac{\text{Luas APM}}{24} & = \frac{1}{36} \\ \text{Luas APM} & = \frac{1}{36} \times 24 = \frac{2}{3} \end{align} $
*). Menentukan luas segitiga CNQ :
$\begin{align} \frac{\text{Luas CNQ}}{\text{Luas ABC}} & = \frac{NC^2}{AC^2} \\ \frac{\text{Luas CNQ}}{24} & = \frac{1^2}{2^2} \\ \frac{\text{Luas CNQ}}{24} & = \frac{1}{4} \\ \text{Luas CNQ} & = \frac{1}{4} \times 24 = 6 \end{align} $
*). Menentukan luas PMNQB :
$\begin{align} \text{Luas PMNQB } & = \text{L ABC } - (\text{L APM} + \text{L CNQ}) \\ & = 24 - ( \frac{2}{3} + 6) = 17\frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, Luas PMNQB adalah $ 17\frac{1}{3} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Penyusunan Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan himpunan huruf {a,i,u,e,o,k,l,m,n,r,p,q}. Banyak cara menyusun huruf-huruf tersebut sehingga tidak ada vokal yang berdampingan adalah ...
A). $ \frac{5!.7!}{2!} \, $ B). $ \frac{5!.7!}{3!} \, $ C). $ \frac{6!.8!}{3!} \, $
D). $ \frac{7!.8!}{3!} \, $ E). $ \frac{7!.8!}{2!} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Aturan Penyusunan :
-). Jika ada $ n $ benda disusun berbaris kesamping di $ n $ tempat, maka ada $ n! $ cara.
-). Banyak cara penyusunan yang memperhatikan urutan menggunakan permutasi. Banyak cara penyusunan $ r $ benda pada $ n $ tempat dengan $ r \leq n $ adalah $ P_r^n $ dengan perhitungan $ P_r^n = \frac{n!}{(n-r)!} $
-). Faktorial : $ n! = n.(n-1).(n-2)....3.2.1 $
Contoh : $ 3! = 3.2.1 = 6 $ dan $ 5! = 5.4.3.2.1 = 120 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui himpunan huruf {a,i,u,e,o,k,l,m,n,r,p,q}.
*). Agar tidak ada vokal yang berdampingan, berikut salah satu cara penyusunannya yaitu kita letakkan hurufnya pada kotak-kota yang tersedia seperti pada gambar berikut.
 
*). Cara penyusunannya :
-). Pertama kita letakkan huruf konsonan pada kotak berwarna abu-abu. Ada 7 huruf konsonan yang kita susun pada 7 tempat, sehingga banyak cara penyusunan huruf konsonannya yaitu $ 7!$
-). kedua kita susun atau letakkan huruf vokal pada kotak berwarna putih dimana pasti dijamin huruf vokal akan dipisahkan oleh huruf konsonan (vokal tidak berdampingan). Ada 5 huruf vokal yang akan kita letakkan pada 8 kotak (kotak warna putih), sehingga banyak cara penyusunan huruf vokal yaitu $ P_5^8 = \frac{8!}{(8-5)!} = \frac{8!}{3!} $
*). TOtal cara penyusunan yaitu :
$\begin{align} \text{total cara } & = 7! \times \frac{8!}{3!} = \frac{7! . 8!}{3!} \end{align} $
Jadi, toal caranya adalah $ \frac{7! . 8!}{3!} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Garis Singgung Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f $ adalah fungsi kuadrat yang mempunyai garis singgung $ y = -x+1 $ di titik $ x = -1 $. Jika $ f^\prime (1) = 3 $ , maka $ f(4) = ... $
A). $ 11 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 14 \, $ D). $ 17 \, $ E). $ 22 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1, y_1) $ :
-). Gradiennya :
$ m = f^\prime (x_1) $
-). Jika garis singgungnya sudah diketahui misalkan $ y = px + q $, maka
$ p = f^\prime (x_1) $
-). Untuk melengkapkan titik singgungnya, substitusi saja $ x_1 $ ke garis singgung yang diketahui untuk menentukan $ y_1 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan fungsi kuadratnya $ f(x) = ax^2 + bx + c $ :
turunan pertamanya $ f^\prime (x) = 2ax + b $
garis singgungnya di $ x_1 = -1 $
persamaan garis singgungya $ y = -x + 1 \rightarrow m = -1 $
*). Menentukan titik singgungnya $ (x_1,y_1) $ :
$\begin{align} x_1 = -1 \rightarrow y & = -x + 1 \\ y_1 & = -(-1) + 1 = 2 \end{align} $
sehingga titik $ (x_1,y_1) = (-1,2) $.
*). Menyusun persamaan :
-). persamaan pertama dari $ f^\prime (1) = 3 $
$\begin{align} f^\prime (1) & = 3 \\ 2a.1 + b & = 3 \\ 2a + b & = 3 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). persamaan kedua dari $ f^\prime (x_1) = m $
$\begin{align} f^\prime (x_1) & = m \\ f^\prime (-1) & = -1 \\ 2a . (-1) + b & = -1 \\ -2a + b & = -1 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
dengan eliminasi pers(i) dan (ii) kita peroleh $ a = 1 $ dan $ b = 1 $
sehingga $ f(x) = ax^2 + bx + c \rightarrow f(x) = x^2 + x + c $
*). Menentukan nilai $ c $ dengan substitusi titik $ (-1,2) $ :
$\begin{align} f(x) & = x^2 + x + c \\ y & = x^2 + x + c \\ 2 & = (-1)^2 + (-1) + c \\ 2 & = 1 - 1 + c \\ 2 & = c \end{align} $
Sehingga $ f(x) = x^2 + x + 2 $
*). Menentukan nilai $ f(4) $ :
$\begin{align} f(4) & = 4^2 + 4 + 2 = 22 \end{align} $
Jadi, nilai $ f(4) = 22 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Peluang Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Daerah R persegi panjang yang memiliki titik sudut $ (-1,1) $ , $ (4,1) $ , $ (-1,-5) $ dan $ (4,-5) $. Suatu titik akan dipilih dari R. Probabilitas akan terpilih titik yang berada di atas garis $ y = \frac{3}{2}x - 5 $ adalah ...
A). $ \frac{1}{5} \, $ B). $ \frac{2}{5} \, $ C). $ \frac{3}{5} \, $ D). $ \frac{1}{4} \, $ E). $ \frac{3}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus peluang kejadian A disimbolkan $ P(A) $
$ \, \, \, \, \, \, P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
Keterangan :
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A
$ n(A) = \, $ banyak kejadian yang diharapkan
$ n(S) = \, $ semua kejadian yang mungkin (ruang sampel)
*). Pada soal ini peluang berkaitan dengan luas daerah karena banyaknya titik tak hingga.
Luas persegi panjang = panjang $ \times $ lebar
Luas trapesium = $ \frac{(a+b)}{2} \times t $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya :
garis $ y = \frac{3}{2}x - 5 \, $ melalui titik $ E(0, -5) $ dan $ C(4,1) $.
 
Keterangan :
$ n(S) = \, $ luas daerah persegi panjang ABCD
$ n(A) = \, $ luas daerah trapesium AECD
*). Menentukan $ n(A) $ dan $ n(S) $ :
$\begin{align} n(S) & = \text{Luas ABCD} \\ & = AB \times BC \\ & = 5 \times 6 = 30 \\ n(A) & = \text{Luas AECD} \\ & = \frac{AE+CD}{2} \times AD \\ & = \frac{1 + 5}{2} \times 6 \\ & = 3 \times 6 = 18 \end{align} $
*). Menentukan peluangnya :
$\begin{align} P(A) & = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} \end{align} $
Jadi, peluangannya adalah $ \frac{3}{5} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Matriks Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan $ B = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & b \end{matrix} \right) $. Jika $ B^{-1} = B^T $ , maka $ b = ... $
A). $ \sin \theta \, $ B). $ -\sin \theta \, $ C). $ \cos \theta \, $
D). $ -\cos \theta \, $ E). $ \tan \theta $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
-). Transpose matriks A :
$ A^T = \left( \begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix} \right) $
-). Perkalian matriks = baris kali kolom
-). Kesamaan dua matriks yaitu unsur seletak nilainya sama.
*). Sifat invers matriks : $ A . A^{-1} = I $
dengan $ I = \, $ matriks identitas.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ B = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & b \end{matrix} \right) $ dan $ B^{-1} = B^T $ :
*). Menentukan transpose matriks B :
$\begin{align} B^{T} & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & b \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menusun persamaan matriks , substitusi $ B^{-1} = B^T $ :
$\begin{align} B.B^{-1} & = I \\ B.B^T & = I \\ \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & b \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & b \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} \cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta & \cos \theta \sin \theta - b \sin \theta \\ \sin \theta \cos \theta - b \sin \theta & \sin ^2 \theta + b^2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Dari persamaan matriks di atas kita peroleh kesamaan :
$\begin{align} \sin \theta \cos \theta - b \sin \theta & = 0 \\ b \sin \theta & = \sin \theta \cos \theta \\ b & = \frac{\sin \theta \cos \theta }{ \sin \theta} \\ b & = \cos \theta \end{align} $
Jadi, nilai $ b = \cos \theta . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Cara 4 Pembahasan Barisan Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Sembilan buah bilangan membentuk deret aritmetika dan mempunyai jumlah 153. Jika pada setiap 2 suku yang berurutan pada deret tersebut disisipkan rata-rata dari 2 suku tersebut, jumlah deret yang baru adalah ...
A). $ 267 \, $ B). $ 279 \, $ C). $ 289 \, $ D). $ 315 \, $ E). $ 349 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jumlah $ n \, $ suku pertama barisan aritmetika:
$ \, \, \, \, S_n = \frac{n}{2} (u_1 + u_n) $
Keterangan :
$ S_n = \, $ jumlah $ n $ suku pertama
$ u_1 = \, $ suku pertama
$ u_n = \, $ suku terakhirnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
(belum di edit)
*). Jumlah 9 bilangan pertama adalah 153 :
$\begin{align} S_9 & = 153 \\ \frac{9}{2} (u_1 + u_9) & = 153 \\ u_1 + u_9 & = 153 \times \frac{2}{9} \\ u_1 + u_9 & = 34 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Barisan awalnya :
$ u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6, u_7, u_8, u_9 $
*). setiap 2 suku yang berurutan pada deret tersebut disisipkan rata-rata dari 2 suku tersebut, barisannya yaitu :
$ u_1 $ , $ \frac{u_1 + u_2}{2} $ , $ u_2 $ , $ \frac{u_2 + u_3}{2} $ , $ u_3 $ , $ \frac{u_3 + u_4}{2} $ , $ u_4 $ , $ \frac{u_4 + u_5}{2} $ , $ u_5 $ , $ \frac{u_5 + u_6}{2} $ , $ u_6 $ , $ \frac{u_6 + u_7}{2} $ , $ u_7 $ , $ \frac{u_7 + u_8}{2} $ , $ u_8 $ , $ \frac{u_8 + u_9}{2} $ , $ u_9 $.
-). Pada barisan baru ini, suku pertamanya adalah $ u_1 $ dan suku terakhirnya adalah $ u_{9} $ juga. Sebenarnya suku terakhirnya adalah suku ke-17 dimana $ u_{17} = u_9 $
*). Total jumlah barisan barunya adalah jumlah 17 suku dengan $ u_{17} = u_9 $ dan $ u_1 + u_9 = 34 $ :
$\begin{align} \text{Total } & = S_{17} \\ & = \frac{17}{2} (u_1 + u_{17}) \\ & = \frac{17}{2} (u_1 + u_9) \\ & = \frac{17}{2} \times 34 \\ & = 17 \times 17 \\ & = 289 \end{align} $
Jadi, jumlah deret yang baru adalah $ 289 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Cara 3 Pembahasan Barisan Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Sembilan buah bilangan membentuk deret aritmetika dan mempunyai jumlah 153. Jika pada setiap 2 suku yang berurutan pada deret tersebut disisipkan rata-rata dari 2 suku tersebut, jumlah deret yang baru adalah ...
A). $ 267 \, $ B). $ 279 \, $ C). $ 289 \, $ D). $ 315 \, $ E). $ 349 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jumlah $ n \, $ suku pertama barisan aritmetika yang diketahui suku tengah : $ s_n = n . u_t \, $ , dengan $ n \ $ menyatakan banyak suku dan $ u_t \, $ adalah suku tengah.
*). Suatu barisan memiliki suku tengah jika banyak suku ganjil.

$\clubsuit $ Pembahasan
(belum di edit)
*). Barisan awalnya :
$ u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6, u_7, u_8, u_9 $
suku tengahnya adalah $ u_t = u_5 $.
*). Jumlah 9 bilangan pertama adalah 153 :
$\begin{align} S_n & = n . u_t \\ S_9 & = 9 . u_5 \\ 153 & = 9. u_5 \\ u_5 & = 17 \end{align} $
*). setiap 2 suku yang berurutan pada deret tersebut disisipkan rata-rata dari 2 suku tersebut, barisannya yaitu :
$ u_1 $ , $ \frac{u_1 + u_2}{2} $ , $ u_2 $ , $ \frac{u_2 + u_3}{2} $ , $ u_3 $ , $ \frac{u_3 + u_4}{2} $ , $ u_4 $ , $ \frac{u_4 + u_5}{2} $ , $ u_5 $ , $ \frac{u_5 + u_6}{2} $ , $ u_6 $ , $ \frac{u_6 + u_7}{2} $ , $ u_7 $ , $ \frac{u_7 + u_8}{2} $ , $ u_8 $ , $ \frac{u_8 + u_9}{2} $ , $ u_9 $.
-). Sekarang ada 17 suku baru yang membentuk barisan aritmetika juga dengan suku tengahnya adalah $ u_t = u_5 $ juga yaitu $ u_t = u_5 = 17 $.
*). Total jumlah barisan barunya adalah jumlah 17 suku dengan $ u_t = 17 $ :
$\begin{align} S_n & = n \times U_t \\ S_{17} & = 17 \times 17 \\ & = 289 \end{align} $
*). Catatan : Cara ini hanya berlaku untuk banyak suku ganjil sesuai syarat suku tengah.
Jadi, jumlah deret yang baru adalah $ 289 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Cara 2 Pembahasan Barisan Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Sembilan buah bilangan membentuk deret aritmetika dan mempunyai jumlah 153. Jika pada setiap 2 suku yang berurutan pada deret tersebut disisipkan rata-rata dari 2 suku tersebut, jumlah deret yang baru adalah ...
A). $ 267 \, $ B). $ 279 \, $ C). $ 289 \, $ D). $ 315 \, $ E). $ 349 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n $ barisan aritmetika :
$ \, \, \, \, \, \, \, \, U_n = a + (n-1)b $
Keterangan :
$ a = U_1 = \, $ suku pertama
$ b = \, $ beda

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan barisan aritmetikanya :
$a-4b, a-3b, \, a-2b, \, a-b, \, a , \, a+b, \, a+2b, \, a+3b , \, a + 4b $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} \text{jumlah 9 sukunya } & = 153 \\ (a-4b) + (a-3b)+(a-2b)+(a-b)+a & \\ +(a+b)+(a+2b)+(a+3b) + (a+4b) & = 153 \\ 9a & = 153 \\ a & = \frac{153}{9} \\ a & = 17 \end{align} $
*). Catatan : nilai $ a $ akan langsung kita peroleh jika banyak suku ganjil seperti pada soal ini.
$\clubsuit \, $ Di setiap dua suku berurutan di barisan tersebut disisipkan rata-rata kedua suku tersebut, diperoleh barisan baru :
$ u_1 $ , $ \frac{u_1 + u_2}{2} $ , $ u_2 $ , $ \frac{u_2 + u_3}{2} $ , $ u_3 $ , $ \frac{u_3 + u_4}{2} $ , $ u_4 $ , $ \frac{u_4 + u_5}{2} $ , $ u_5 $ , $ \frac{u_5 + u_6}{2} $ , $ u_6 $ , $ \frac{u_6 + u_7}{2} $ , $ u_7 $ , $ \frac{u_7 + u_8}{2} $ , $ u_8 $ , $ \frac{u_8 + u_9}{2} $ , $ u_9 $.
Diubah dalam bentuk $ a \, $ dan $ b \, $ :
$a-4b, \, \frac{2a-7b}{2} , a-3b, \, \frac{2a-5b}{2} , \, a-2b, \, \frac{2a-3b}{2} , \, a-b, \, \frac{2a-b}{2}, \, a , $
$ \frac{2a+b}{2} , \, a+b, \, \frac{2a+3b}{2} , \, a+2b, \, \frac{2a + 5b}{2} , \, a+3b , \, \frac{2a + 7b}{2} , \, a+4b $
$\clubsuit \, $ Menentukan jumlah barisan barunya
$\begin{align} \text{jumlah } & = (a-4b)+ \frac{2a-7b}{2} + (a-3b)+\frac{2a-5b}{2} \\ & +(a-2b) +\frac{2a-3b}{2} + (a-b)+\frac{2a-b}{2} + a \\ & +\frac{2a+b}{2} + (a+b) +\frac{2a+3b}{2} + (a+2b) \\ & +\frac{2a + 5b}{2}+(a+3b) + \frac{2a + 7b}{2} +( a+4b ) \\ & = 17a \\ & = 17 \times 17 \\ & = 289 \end{align} $
Jadi, jumlah deret yang baru adalah $ 289 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Barisan Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Sembilan buah bilangan membentuk deret aritmetika dan mempunyai jumlah 153. Jika pada setiap 2 suku yang berurutan pada deret tersebut disisipkan rata-rata dari 2 suku tersebut, jumlah deret yang baru adalah ...
A). $ 267 \, $ B). $ 279 \, $ C). $ 289 \, $ D). $ 315 \, $ E). $ 349 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n $ barisan aritmetika :
$ \, \, \, \, \, \, \, \, U_n = a + (n-1)b $
*). Rumus jumlah $ n $ suku pertama ($S_n$) :
$ \, \, \, \, \, S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
Keterangan :
$ a = U_1 = \, $ suku pertama
$ b = \, $ beda

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Jumlah 9 bilangan pertama adalah 153 :
$\begin{align} S_9 & = 153 \\ \frac{9}{2} (2a + (9-1)b) & = 153 \\ 2a + 8b & = 153 \times \frac{2}{9} \\ 2a + 8b & = 34 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Barisan awalnya :
$ u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6, u_7, u_8, u_9 $
*). setiap 2 suku yang berurutan pada deret tersebut disisipkan rata-rata dari 2 suku tersebut, barisannya yaitu :
$ u_1 $ , $ \frac{u_1 + u_2}{2} $ , $ u_2 $ , $ \frac{u_2 + u_3}{2} $ , $ u_3 $ , $ \frac{u_3 + u_4}{2} $ , $ u_4 $ , $ \frac{u_4 + u_5}{2} $ , $ u_5 $ , $ \frac{u_5 + u_6}{2} $ , $ u_6 $ , $ \frac{u_6 + u_7}{2} $ , $ u_7 $ , $ \frac{u_7 + u_8}{2} $ , $ u_8 $ , $ \frac{u_8 + u_9}{2} $ , $ u_9 $.
*). Perhatikan sisipannya :
-). ada 8 suku yang disisipkan yaitu :
$ \frac{u_1 + u_2}{2} $ , $ \frac{u_2 + u_3}{2} $ , $ \frac{u_3 + u_4}{2} $ , $ \frac{u_4 + u_5}{2} $ , $ \frac{u_5 + u_6}{2} $ , $ \frac{u_6 + u_7}{2} $ , $ \frac{u_7 + u_8}{2} $ , $ \frac{u_8 + u_9}{2} $.
suku pertamanya : $ \frac{u_1 + u_2}{2} = \frac{a + (a + b)}{2} = \frac{2a + b}{2} $
suku keduanya : $ \frac{u_2 + u_3}{2} = \frac{(a + b) + (a + 2b)}{2} = \frac{2a + 3b}{2} $
beda $ = \frac{2a + 3b}{2} - \frac{2a + b}{2} = b $
-). Jumlah semua 8 suku sisipannya yaitu :
$\begin{align} S_8 & = \frac{8}{2} ( 2 . \frac{2a + b}{2} + (8-1) b ) \\ & = 4 ( 2a + b + 7b ) \\ & = 4 ( 2a + 8b ) \\ & = 4 \times 34 = 136 \end{align} $
*). Total jumlah barisan barunya adalah jumlah 9 suku awal dan 8 suku sisipannya :
$\begin{align} \text{Total } & = S_9 + S_8 \\ & = 153 + 136 \\ & = 289 \end{align} $
Jadi, jumlah deret yang baru adalah $ 289 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Cara 2 Pembahasan Pertidaksamaan Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ \sqrt{x^2 - 4} \leq 3 - x $ adalah ...
A). $ \{ x \in R : x \leq -2 \text{ atau } 2 \leq x \leq \frac{13}{6} \} \, $
B). $ \{ x \in R : x \leq -2 \text{ atau } 2 \leq x \} \, $
C). $ \{ x \in R : -2 \leq x \leq \frac{13}{6} \} \, $
D). $ \{ x \in R : x \leq \frac{13}{6} \} \, $
E). $ \{ x \in R : 2 \leq x \leq \frac{13}{6} \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow \sqrt{x^2 - 4} & \leq 3 - x \\ \sqrt{0^2 - 4} & \leq 3 - 0 \\ \sqrt{ - 4} & \leq 3 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x=0$ SALAH karena dalam akar harus positif , opsi yang benar A, B, dan E.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=3 \Rightarrow \sqrt{x^2 - 4} & \leq 3 - x \\ \sqrt{3^2 - 4} & \leq 3 - 3 \\ \sqrt{ 5} & \leq 0 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x=3$ SALAH , opsi yang benar A dan E.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=-2 \Rightarrow \sqrt{x^2 - 4} & \leq 3 - x \\ \sqrt{(-2)^2 - 4} & \leq 3 - (-2) \\ \sqrt{ 0 } & \leq 5 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=-2$ BENAR , opsi yang benar A.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi A (yang tersisia).
Jadi, solusinya $ \{ x \leq -2 \text{ atau } 2 \leq x \leq \frac{13}{6} \} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Pertidaksamaan Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ \sqrt{x^2 - 4} \leq 3 - x $ adalah ...
A). $ \{ x \in R : x \leq -2 \text{ atau } 2 \leq x \leq \frac{13}{6} \} \, $
B). $ \{ x \in R : x \leq -2 \text{ atau } 2 \leq x \} \, $
C). $ \{ x \in R : -2 \leq x \leq \frac{13}{6} \} \, $
D). $ \{ x \in R : x \leq \frac{13}{6} \} \, $
E). $ \{ x \in R : 2 \leq x \leq \frac{13}{6} \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
5). Cari syarat jika ada, lalu iriskan semua himpunan penyelesaiannya.
*). Syarat pertidaksamaan bentuk akar $ \sqrt{f(x)} \leq g(x) $ yaitu :
$ f(x) \geq 0 \, $ dan $ g(x) \geq 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui pertidaksamaan $ \sqrt{x^2 - 4} \leq 3 - x $ :
*). Syarat-syarat pertidaksamaannya :
-). Syarat pertama : $ x^2 - 4 \geq 0 $
$\begin{align} x^2 - 4 \geq 0 \\ (x +2)(x-2) \geq 0 \\ x = -2 \vee x & = 2 \end{align} $
garis bilangannya :
 
$ HP_1 = \{ x \leq -2 \vee x \geq 2 \} $
-). Syarat kedua : $ 3 - x \geq 0 $
$\begin{align} 3 - x & \geq 0 \\ -x & \geq -3 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -3, dibalik)} \\ x & \leq 3 \end{align} $
$ HP_2 = \{ x \leq 3 \} $
*). Menyelesaikan bentuk pertidaksamaannya :
$\begin{align} \sqrt{x^2 - 4} & \leq 3 - x \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ ( \sqrt{x^2 - 4} )^2 & \leq ( 3 - x )^2 \\ x^2 - 4 & \leq x^2 - 6x + 9 \\ 6x & \leq 13 \\ x & \leq \frac{13}{6} \end{align} $
$ HP_3 = \{ x \leq \frac{13}{6} \} $
*). Solusi total yaitu irisan semuanya :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \cap HP_3 \\ & = \{ x \leq -2 \vee x \geq 2 \} \cap \{ x \leq 3 \} \cap \{ x \leq \frac{13}{6} \} \\ & = \{ x \leq -2 \vee 2 \leq x \leq \frac{13}{6} \} \end{align} $
Jadi, solusinya $ \{ x \leq -2 \vee 2 \leq x \leq \frac{13}{6} \} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Sistem Persamaan Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan sistem $ ax+8y=1 $ , $ 3x+(a+10)y=6 $. Agar sistem tersebut memiliki tepat satu solusi, maka $ a = ... $
A). $ \{ a \in R : a \neq 12 \text{ dan } a \neq 2 \} \, $
B). $ \{ a \in R : a \neq 6 \text{ dan } a \neq 4 \} \, $
C). $ \{ a \in R : a \neq 12 \text{ dan } a \neq -2 \} \, $
D). $ \{ a \in R : a \neq -12 \text{ dan } a \neq 2 \} \, $
E). $ \{ a \in R : a \neq 6 \text{ dan } a \neq -4 \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penyelesaian sistem persamaan :
Sistem persamaan $ ax + by = c $ dan $ px + qy = r $ memiliki penyelesaian tepat satu solusi jika $ \frac{a}{p} \neq \frac{b}{q} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). sistem persamaan $ ax+8y=1 $ dan $ 3x+(a+10)y=6 $ memiliki tepat satu penyelesaian jika memenuhi :
$\begin{align} \frac{a}{3} & \neq \frac{8}{a + 10} \\ a(a+10) & \neq 3 . 8 \\ a^2 + 10a - 24 & \neq 0 \\ (a + 12)(a - 2) & \neq 0 \\ a \neq -12 \vee a & \neq 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ a \neq -12 \text{ dan } a \neq 2 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Persamaan Kuadrat Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan kuadrat $ x^2 + (a+6)x + 9a-1 = 0 $ mempunyai 2 akar real berbeda $ x_1 $ dan $ x_2 $ dengan $ a < 0 $. Jika $ x_1^2 + x_1x_2+x_2^2 = -12a + 1 $ , maka $ a^2 + a = ... $
A). $ 4 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ 64 \, $ D). $ 96 \, $ E). $ 156 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $.
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
-). Rumus bantu :
$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 $
-). Syarat memiliki 2 akar real berbeda yaitu $ D > 0 $
dengan $ D = b^2 - 4ac $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan kuadrat $ x^2 + (a+6)x + 9a-1 = 0 $ :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(a+6)}{1} = -(a + 6) $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{9a-1}{1} = 9a -1 $
*). Menentukan nilai $ a $ dengan operasi akar-akar :
$\begin{align} x_1^2 + x_1x_2+x_2^2 & = -12a + 1 \\ (x_1^2 +x_2^2) + x_1x_2 & = -12a + 1 \\ ((x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2) + x_1x_2 & = -12a + 1 \\ (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 + x_1x_2 & = -12a + 1 \\ (x_1+x_2)^2 - x_1x_2 & = -12a + 1 \\ [-(a+6)]^2 - (9a - 1) & = -12a + 1 \\ a^2 + 12a + 36 - 9a + 1 & = -12a + 1 \\ a^2 + 15a + 36 & = 0 \\ (a+3)(a+12) & = 0 \\ a = -3 \vee a & = -12 \end{align} $
*). Kita cek mana nilai $ a $ yang memenuhi $ D > 0 $ dengan $ D = (a+6)^2 - 4(9a-1) $ :
$\begin{align} a = -3 \rightarrow D & = (-3+6)^2 - 4(9.(-3)-1) \\ D & = 9 + 112 = 121 > 0 \\ a = -12 \rightarrow D & = (-12+6)^2 - 4(9.(-12)-1) \\ D & = 36 + 436 = 472 > 0 \end{align} $
Artinya kedua nilai $ a $ memenuhi.
*).Menentukan nilai $ a^2 + a $ :
$\begin{align} a = -3 \rightarrow a^2 + a & = (-3)^2 + (-3) \\ & = 9 -3 = 6 \\ a = -12 \rightarrow a^2 + a & = (-12)^2 + (-12) \\ & = 144 - 12 = 132 \end{align} $
Yang ada di option adalah $ a^2 + a = 6 $.
Jadi, nilai $ a^2 + a = 6 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Logaritma Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ 2 \log \left(a^\frac{3}{2}b^\frac{7}{2}c^\frac{11}{2} \right) - 2\log (bc) = 3\log (b^{x+y}a) - 3\log c^{x-y} $ , maka $ \frac{x}{y} = ... $
A). $ -\frac{2}{3} \, $ B). $ -\frac{2}{5} \, $ C). $ -\frac{2}{7} \, $ D). $ -\frac{2}{9} \, $ E). $ -\frac{2}{11} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat - sifat logaritma :
$ n . {}^a \log b = {}^a \log b^n $
$ {}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log \frac{b}{c} $
*). Sifat eksponen :
$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $
$ (a^m)^n = a^{m.n} $
$ (a.b)^n = a^n . b^n $
$ a^{-n} = \frac{1}{a^n } $
*). Persamaan logaritma dan eksponen :
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
$ a^x . b^y . c^z = a^m.b^n.c^r \rightarrow x = m, \, y = n , \, $ dan $ z = r $

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Menyelesaikan soal :
$\begin{align} 2 \log \left(a^\frac{3}{2}b^\frac{7}{2}c^\frac{11}{2} \right) - 2\log (bc) & = 3\log (b^{x+y}a) - 3\log c^{x-y} \\ \log \left(a^\frac{3}{2}b^\frac{7}{2}c^\frac{11}{2} \right)^2 - \log (bc)^2 & = \log (b^{x+y}a)^3 - \log (c^{x-y})^3 \\ \log \left(a^3b^7c^{11} \right) - \log (b^2c^2) & = \log (b^{3x+3y}a^3) - \log c^{3x-3y} \\ \log \left( \frac{a^3b^7c^{11} }{b^2c^2} \right) & = \log \left( \frac{b^{3x+3y}a^3}{c^{3x-3y}} \right) \\ \frac{a^3b^7c^{11} }{b^2c^2} & = \frac{b^{3x+3y}a^3}{c^{3x-3y}} \\ a^3b^5c^9 & = b^{3x+3y}a^3 c^{-(3x-3y)} \\ a^3b^5c^9 & = b^{3x+3y}a^3 c^{- 3x + 3y } \\ a^3b^5c^9 & = a^3 b^{3x+3y} c^{- 3x + 3y } \end{align} $
Dari bentuk terakhir kita peroleh kesamaan :
$ 3x + 3y = 5 \, $ .....(i)
$ -3x + 3y = 9 \, $ .....(ii)
*). Eliminasi kedua persamaan :
$ \begin{array}{cc} 3x + 3y = 5 & \\ -3x + 3y = 9 & + \\ \hline 6y = 14 & \\ y = \frac{7}{3} & \end{array} $
*). Menentukan nilai $ x $ dari Pers(i):
$ 3x + 3y = 5 \rightarrow 3x + 3. \frac{7}{3} = 5 $
$ \rightarrow 3x = -2 \rightarrow x = \frac{-2}{3} $
*).Menentukan nilai $ \frac{x}{y} $ :
$\begin{align} \frac{x}{y} & = \frac{ \frac{-2}{3} }{\frac{7}{3}} = -\frac{2}{7} \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{x}{y} = -\frac{2}{7} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Cara 2 Pembahasan eksponen Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Hasil perkalian semua solusi bilangan real yang memenuhi $ \sqrt[3]{x} = \frac{2}{1 + \sqrt[3]{x}} $ adalah ...
A). $ -8 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat Eksponen :
$ \sqrt[n]{a} . \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a.b} $
$ \sqrt[n]{x} = y \rightarrow x = y^n $
*). Misalkan ada persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ dengan akar-akar $ p_1 $ dan $ p_2 $
-). Operasi perkalian akar-akarnya :
$ p_1 . p_2 = \frac{c}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bagaimana jika persamaan yang terbentuk tidak bisa difaktorkan seperti cara pertama? Nah, sebagai alternatif penyelesain kita menggunakan cara 2 ini baik bisa difaktorkan atau tidak.
*).Misalkan $ \sqrt[3]{x} = p $
artinya $ p_1 = \sqrt[3]{x_1} \, $ dan $ p_2 = \sqrt[3]{x_2} $
*).Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \sqrt[3]{x} & = \frac{2}{1 + \sqrt[3]{x}} \\ p & = \frac{2}{1 + p} \\ p(1+p) & = 2 \\ p^2 + p - 2 & = 0 \\ p_1 . p_2 & = \frac{c}{a} \\ \sqrt[3]{x_1} . \sqrt[3]{x_2} & = \frac{-2}{1} \\ \sqrt[3]{x_1.x_2} & = -2 \\ x_1.x_2 & = (-2)^3 \\ x_1.x_2 & = -8 \end{align} $
Jadi, hasil perkaliannya adalah $ -8 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan eksponen Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Hasil perkalian semua solusi bilangan real yang memenuhi $ \sqrt[3]{x} = \frac{2}{1 + \sqrt[3]{x}} $ adalah ...
A). $ -8 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat Eksponen :
$ \sqrt[n]{x} = y \rightarrow x = y^n $

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Misalkan $ \sqrt[3]{x} = p $
*).Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \sqrt[3]{x} & = \frac{2}{1 + \sqrt[3]{x}} \\ p & = \frac{2}{1 + p} \\ p(1+p) & = 2 \\ p^2 + p - 2 & = 0 \\ (p+2)(p-1) & = 0 \\ p = -2 \vee p & = 1 \end{align} $
*).Menentukan nilai $ x $ :
$\begin{align} p = -2 \rightarrow \sqrt[3]{x} & = -2 \\ x & = (-2)^3 \\ x_1 & = -8 \\ p = 1 \rightarrow \sqrt[3]{x} & = 1 \\ x & = 1^3 \\ x_2 & = 1 \end{align} $
*). Menentukan hasil perkaliannya :
$\begin{align} x_1 . x_2 & = -8 . 1 = -8 \end{align} $
Jadi, hasil perkaliannya adalah $ -8 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)