Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika $ f(x) = 3(2x-1)^5 + 6x + 7 $ , maka ...
(1). $ f^{\prime \prime } (1) = 246 $
(2). $ f^{ \prime \prime \prime } (0) = 1440 $
(3). garis singgung kurva $ f $ pada titik $ (0,10) $ adalah $ y = 36x - 10 $
(4). garis singgung kurva $ f $ pada titik $ (1,15) $ adalah $ y = 36x - 21 $
Jika $ f(x) = 3(2x-1)^5 + 6x + 7 $ , maka ...
(1). $ f^{\prime \prime } (1) = 246 $
(2). $ f^{ \prime \prime \prime } (0) = 1440 $
(3). garis singgung kurva $ f $ pada titik $ (0,10) $ adalah $ y = 36x - 10 $
(4). garis singgung kurva $ f $ pada titik $ (1,15) $ adalah $ y = 36x - 21 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[f(x)]^{n-1} . f^\prime (x) $
*). Persamaan garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1,y_1) $ :
$ y - y_1 = m(x-x_1) $
dengan $ m = f^\prime (x_1) $
*). Dua garis sejajar memiliki gradien sama.
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[f(x)]^{n-1} . f^\prime (x) $
*). Persamaan garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1,y_1) $ :
$ y - y_1 = m(x-x_1) $
dengan $ m = f^\prime (x_1) $
*). Dua garis sejajar memiliki gradien sama.
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui fungsi $ f(x) = 3(2x-1)^5 + 6x + 7 $ :
*). Menentukan turunannya :
$\begin{align} f(x) & = 3(2x-1)^5 + 6x + 7 \\ f^\prime (x) & = 5.3 (2x-1)^4 . 2 + 6 \\ & = 30(2x-1)^4 + 6 \\ f^{ \prime \prime } (x) & = 4.30(2x-1)^3 . 2 \\ & = 240(2x-1)^3 \\ f^{\prime \prime \prime }(x) & = 3. 240 (2x-1)^2. 2 \\ & = 1440(2x-1)^2 \end{align} $
*). Kita cek setiap pernyataan :
(1). $ f^{\prime \prime } (1) = 246 $?
$ f^{\prime \prime } (1) = 240(2.1-1)^3 = 240.1 = 240 $
Pernyataan (1) SALAH.
(2). $ f^{ \prime \prime \prime } (0) = 1440 $?
$ f^{ \prime \prime \prime } (0) = 1440(2.0-1)^2 = 1440 . 1 = 1440 $
Pernyataan (2) BENAR.
(3). garis singgung kurva $ f $ pada titik $ (0,10) $ adalah $ y = 36x - 10 $?
titik $ (0,10) $ tidak berada pada garis $ y = 36x - 10 $ , sehingga pernyataan (3) otomatis SALAH.
(4). garis singgung kurva $ f $ pada titik $ (1,15) $ adalah $ y = 36x - 21 $ ?
-). Gradien garis singgung kurva $ f $ di $ x = 1 $ :
$ m = f^\prime (1) = 30(2.1-1)^4 + 6 = 30.1 + 6 = 36 $
-). titik $ (1,15) $ tidak berada pada kurva $ f(x) = 3(2x-1)^5 + 6x + 7 $, karena $ f(1) = 16 $, sehingga titik $ (1,15) $ bukan sebagai titik singgung kurva $ f $, ini artinya gradiennya bukan $ 36 $. Jika pernyataan (4) juga SALAH, maka berdasarkan petunjuk C tidak ada jawabannya untuk yang BENAR hanya pernyataan (2) saja. Berarti terjadi kesalahan pada soal. Ada dua kemungkinan perbaikannya :
Pertama : fungsi $ f $ kita ubah menjadi $ f(x) = 3(2x-1)^5 + 6x + 6 $ sehingga titik $ (1,15) $ menjadi titik singgung kurva $ f $.
Kedua : fungsi $ f(x) $ tidak diubah, namun pernyataan (4) kita ubah menjadi : persamaan garis yang sejajar dengan garis singgung kurva $ f $ di $ x = 1 $ , sehingga gradiennya tetap kita gunakan $ m = 36 $ karena sejajar.
-). Dari kedua perbaikan di atas, maka persamaan garis di titik $ (1,15) $ dengan $ m = 36 $ :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x - x_1) \\ y - 15 & = 36 ( x - 1) \\ y - 15 & = 36x - 36 \\ y & = 36x - 21 \end{align} $
Pernyataan (4) BENAR.
Sehingga pernyataan (2) dan (4) yang BENAR, jawabannya C.
Jadi, yang BENAR adalah (2) dan (4) $ . \, \heartsuit $
*). Diketahui fungsi $ f(x) = 3(2x-1)^5 + 6x + 7 $ :
*). Menentukan turunannya :
$\begin{align} f(x) & = 3(2x-1)^5 + 6x + 7 \\ f^\prime (x) & = 5.3 (2x-1)^4 . 2 + 6 \\ & = 30(2x-1)^4 + 6 \\ f^{ \prime \prime } (x) & = 4.30(2x-1)^3 . 2 \\ & = 240(2x-1)^3 \\ f^{\prime \prime \prime }(x) & = 3. 240 (2x-1)^2. 2 \\ & = 1440(2x-1)^2 \end{align} $
*). Kita cek setiap pernyataan :
(1). $ f^{\prime \prime } (1) = 246 $?
$ f^{\prime \prime } (1) = 240(2.1-1)^3 = 240.1 = 240 $
Pernyataan (1) SALAH.
(2). $ f^{ \prime \prime \prime } (0) = 1440 $?
$ f^{ \prime \prime \prime } (0) = 1440(2.0-1)^2 = 1440 . 1 = 1440 $
Pernyataan (2) BENAR.
(3). garis singgung kurva $ f $ pada titik $ (0,10) $ adalah $ y = 36x - 10 $?
titik $ (0,10) $ tidak berada pada garis $ y = 36x - 10 $ , sehingga pernyataan (3) otomatis SALAH.
(4). garis singgung kurva $ f $ pada titik $ (1,15) $ adalah $ y = 36x - 21 $ ?
-). Gradien garis singgung kurva $ f $ di $ x = 1 $ :
$ m = f^\prime (1) = 30(2.1-1)^4 + 6 = 30.1 + 6 = 36 $
-). titik $ (1,15) $ tidak berada pada kurva $ f(x) = 3(2x-1)^5 + 6x + 7 $, karena $ f(1) = 16 $, sehingga titik $ (1,15) $ bukan sebagai titik singgung kurva $ f $, ini artinya gradiennya bukan $ 36 $. Jika pernyataan (4) juga SALAH, maka berdasarkan petunjuk C tidak ada jawabannya untuk yang BENAR hanya pernyataan (2) saja. Berarti terjadi kesalahan pada soal. Ada dua kemungkinan perbaikannya :
Pertama : fungsi $ f $ kita ubah menjadi $ f(x) = 3(2x-1)^5 + 6x + 6 $ sehingga titik $ (1,15) $ menjadi titik singgung kurva $ f $.
Kedua : fungsi $ f(x) $ tidak diubah, namun pernyataan (4) kita ubah menjadi : persamaan garis yang sejajar dengan garis singgung kurva $ f $ di $ x = 1 $ , sehingga gradiennya tetap kita gunakan $ m = 36 $ karena sejajar.
-). Dari kedua perbaikan di atas, maka persamaan garis di titik $ (1,15) $ dengan $ m = 36 $ :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x - x_1) \\ y - 15 & = 36 ( x - 1) \\ y - 15 & = 36x - 36 \\ y & = 36x - 21 \end{align} $
Pernyataan (4) BENAR.
Sehingga pernyataan (2) dan (4) yang BENAR, jawabannya C.
Jadi, yang BENAR adalah (2) dan (4) $ . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.