Pembahasan Fungsi Kuadrat Simak UI 2009 Matematika IPA kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ mx^2 - 2x^2 + 2mx + m - 3 $ . Agar fungsi tersebut senantiasa berada di bawah sumbu X, maka nilai $ m $ yang mungkin adalah
A). $ m < -3 \, $ B). $ m < -2 \, $ C). $ m < 1\frac{1}{5} \, $
D). $ m < 2 \, $ E). $ m < 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $ selalu berada di bawah sumbu X (istilah lainnya adalah definit negatif) jika memenuhi syarat :
$ a < 0 \, $ dan $ D < 0 $
dengan $ D = b^2 - 4ac $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dketahui Fungsi $ f(x) = mx^2 - 2x^2 + 2mx + m - 3 $
dapat digabung menjadi : $ f(x) = (m-2)x^2 + 2mx + (m - 3) $
dengan $ a = m-2 , \, b = 2m $ , dan $ c = m-3 $
*). Mennyelesaikan syarat definit negatif (selalu di bawah sumbu X) :
(i). Syarat pertama : $ a < 0 $
$\begin{align} a & < 0 \\ m - 2 & < 0 \\ m & < 2 \, \, \, \, \, \text{....HP1} \end{align} $
(ii). Syarat kedua : $ D < 0 $
$\begin{align} b^2 - 4ac & < 0 \\ (2m)^2 - 4.(m-2).(m-3) & < 0 \\ 4m^2 - 4(m^2 - 5m + 6) & < 0 \\ 4m^2 - 4m^2 + 20m - 24 & < 0 \\ 20m - 24 & < 0 \\ 20m & < 24 \\ m & < \frac{24}{20} \\ m & < \frac{6}{5} \\ m & < 1\frac{1}{5} \, \, \, \, \, \text{....HP2} \end{align} $
*). Solusi totalnya adalah irisan keduanya :
$\begin{align} HP & = HP1 \cap HP_2 \\ & = \{ m < 2 \} \cap \{ m < 1\frac{1}{5} \} \\ & = \{ m < 1\frac{1}{5} \} \end{align} $
Jadi, syaratnya adalah $ m < 1\frac{1}{5} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar