Pembahasan Ketaksamaan Mutlak UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Penyelesaian dari pertidaksamaan $ |2x+1| < 2 + |x+1| $ adalah berbentuk interval $ (a,b) $. Nilai $ a + b + 2 = .... $
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi nilai mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , \text{untuk } f(x) < 0 \\ \end{array} \right. $
Untuk pertidaksamaan mutlak, solusinya adalah gabungan dari kedua batas di atas.
*). Bentuk interval :
$ (a,b) \, $ sama dengan $ a < x < b $
$ (a,b] \, $ sama dengan $ a < x \leq b $
$ [a,b) \, $ sama dengan $ a \leq x < b $
$ [a,b] \, $ sama dengan $ a \leq x \leq b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ |2x+1| < 2 + |x+1| $ dengan solusi $ (a,b) \rightarrow a < x < b $.
*). Mengubah bentuk mutlak sesuai definisi mutlak :
$ |2x+1| = \left\{ \begin{array}{cc} 2x+1 & , \text{untuk } x \geq -\frac{1}{2} \\ -(2x+1) & , \text{untuk } x < -\frac{1}{2} \end{array} \right. $
$ |x+1| = \left\{ \begin{array}{cc} 2x+1 & , \text{untuk } x \geq -1 \\ -(x+1) & , \text{untuk } x < -1 \end{array} \right. $
-). Dari batas kedua bentuk mutlak yaitu $ -1 $ dan $ -\frac{1}{2} $ , maka kita bagi menjadi tiga bagian yaitu :
$ x < - 1 \, $ , $ \, -1 \leq x < -\frac{1}{2} \, $ , dan $ \, x \geq -\frac{1}{2} $
*). Kita selesaikan $ |2x+1| < 2 + |x+1| $ berdasarkan ketiga bagian di atas :
-). Pertama : $ x < -1 $ berlaku $ | 2x + 1| = -(2x+1) $ dan $ |x+1| = -(x+1) $
$\begin{align} |2x+1| & < 2 + |x+1| \\ -(2x+1) & < 2 + [-(x+1)] \\ -2x - 1 & < 2 - x - 1 \\ -x & < 2 \\ x & > -2 \end{align} $
Sehingga $ HP_1 = \{ x < -1 \} \cap \{ x > -2 \} = \{ -2 < x < -1 \} $
-). Kedua : $ -1 \leq x < -\frac{1}{2} $ berlaku $ | 2x + 1| = -(2x+1) $ dan $ |x+1| = x+1 $
$\begin{align} |2x+1| & < 2 + |x+1| \\ -(2x+1) & < 2 + (x+1) \\ -2x - 1 & < 2 + x + 1 \\ -3x & < 4 \\ x & > -\frac{4}{3} \end{align} $
Sehingga $ HP_2 = \{ -1 \leq x < -\frac{1}{2} \} \cap \{ x > -\frac{4}{3} \} = \{ -1 \leq x < -\frac{1}{2} \} $
-). Ketiga : $ x \geq -\frac{1}{2} $ berlaku $ | 2x + 1| = 2x+1 $ dan $ |x+1| = x+1 $
$\begin{align} |2x+1| & < 2 + |x+1| \\ (2x+1) & < 2 + (x+1) \\ x & < 2 \end{align} $
Sehingga $ HP_3 = \{ x \geq -\frac{1}{2} \} \cap \{ x < 2 \} = \{ -\frac{1}{2} \leq x < 2 \} $
*). Solusi totalnya adalah gabungan dari ketiga himpunan di atas :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cup HP_2 \cup HP_3 \\ & = \{ -2 < x < -1 \} \cup \{ -1 \leq x < -\frac{1}{2} \} \cup \{ -\frac{1}{2} \leq x < 2 \} \\ & = \{ -2 < x < 2 \} \end{align} $
Bentuk $ -2 < x < 2 $ sama dengan $ a < x < b $ sehingga $ a = -2 $ dan $ b = 2 $.
Nilai $ a + b + 2 = -2 + 2 + 2 = 2 $
Jadi, nilai $ a + b + 2 = 2 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar