Pembahasan Peluang UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Dalam sebuah kantong terdapat $ m $ bola putih dan $ n $ bola merah dengan $ m.n = 120 $ dan $ m < n $. Jika diambil dua bola sekaligus, peluang terambilnya paling sedikit satu bola putih adalah $ \frac{5}{7}$, maka nilai $ m + n = .... $
A). $ 34 \, $ B). $ 26 \, $ C). $ 23 \, $ D). $ 22 \, $ E). $ 21 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Kejadian pengambilan bola tidak memperhatikan urutan sehingga penghitungannya menggunakan kombinasi.
*). Rumus kombinasi : $ C_r^n = \frac{n!}{(n-r)!.r!} $
*). Peluang kejadian A : $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
Keterangan :
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A
$ n(A) = \, $ banyak kejadian yang diharapkan
$ n(S) = \, $ semua kejadian yang mungkin (Ruang sampel)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ m $ bola putih dan $ n $ bola merah dengan $ m.n = 120 $ dan peluang terambilnya paling sedikit satu bola putih adalah $ \frac{5}{7}$.
-). Total bola $ = m + n $
-). Diambil dua bola sekaligus :
$\begin{align} n(S) & = C_2^{m+n} = \frac{(m+n)!}{(m+n-2)!.2!} \\ & = \frac{(m+n).(m+n-1).(m+n-2)!}{(m+n-2)!.2} \\ & = \frac{(m+n).(m+n-1)}{2} \end{align} $
-). Peluang terambil paling sedikit satu putih , kejadiannya yaitu :
(1). satu putih dan satu merah $ = C_1^m.C_1^n $
(2). Keduanya putih $ = C_2^m $
Sehingga total kejadiana yang diharapkan :
$\begin{align} n(A) & = C_1^m.C_1^n + C_2^m \\ & = \frac{m!}{(m-1)!.1!}. \frac{n!}{(n-1)!.1!} + \frac{m!}{(m-2)!.2!} \\ & = m.n + \frac{m.(m-1)}{2} \\ & = 120 + \frac{m.(m-1)}{2} \\ \end{align} $
*). Peluang kejadian A $ = \frac{5}{7} $
$\begin{align} P(A) & = \frac{5}{7} \\ \frac{n(A)}{n(S)} & = \frac{5}{7} \\ \frac{120 + \frac{m.(m-1)}{2}}{\frac{(m+n).(m+n-1)}{2}} & = \frac{5}{7} \\ \frac{120 + \frac{m.(m-1)}{2}}{\frac{(m+n).(m+n-1)}{2}} . \times \frac{2}{2} & = \frac{5}{7} \\ \frac{240 + m.(m-1)}{ (m+n).(m+n-1)} & = \frac{5}{7} \end{align} $
-). Dari bentuk $ m.n = 120 $ dan $ m < n $ , ada beberapa nilai $ m $ yang mungkin yaitu :
$ m.n = 120 = 10.12 \rightarrow m = 10 , n = 12 $
$ m.n = 120 = 5.24 \rightarrow m = 5 , n = 24 $
$ m.n = 120 = 2.60 \rightarrow m = 2 , n = 60 $
$ m.n = 120 = 1.120 \rightarrow m = 1 , n = 120 $
-). Dari pilihan nilai $ m $ di atas, kita cek satu persatu ke $ \frac{240 + m.(m-1)}{ (m+n).(m+n-1)} = \frac{5}{7} $ , dan yang memenuhi adalah $ m = 10 $ dan $ n = 12 $.
Sehingga nilai $ m + n = 10 + 12 = 22 $.

Catatan :
-). Sebenarnya kita bisa juga langsung menyelesaikan persamaan $ \frac{240 + m.(m-1)}{ (m+n).(m+n-1)} = \frac{5}{7} $ dengan cara dikalikan silang dan subsitusi $ mn=120 \rightarrow n = \frac{120}{m} $, namun akan terbentuk persamaan dengan variabel $ m $ pangkat 4 serta koefisien yang besar sehingga juga sulit untuk menyelesaikannya.
-). Boleh juga dengan memperhatikan bentuk $ \frac{240 + m.(m-1)}{ (m+n).(m+n-1)} = \frac{5}{7} $ yaitu penyebutnya $ (m+n).(m+n-1) $ adalah kelipatan 7 sehingga nilai $ m + n $ yang mungkin adalah $ 22 $ atau $ 21 $.

Jadi, nilai $ m + n = 22 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar