Pembahasan Limit UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x-1+\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{1-x^2}} $ adalah ....
A). $ -\sqrt[3]{2} \, $ B). $ 0 \, $ C). $ \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \, $ D). $ \frac{1}{\sqrt[3]{3}} \, $ E). $ \sqrt[3]{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Salah satu cara untuk menyelesaikan limit yaitu dengan pemfaktoran
*). Bentuk akar :
$ \sqrt[n]{a.b} = \sqrt[n]{a} . \sqrt[n]{b} $
$ A = \sqrt[n]{A} . \sqrt[n]{A^{n-1}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Memfaktorkan bentuk $ (1-x) $ :
Bentuk : $ A = \sqrt[n]{A} . \sqrt[n]{A^{n-1}} $
$\begin{align} 1 - x & = \sqrt[3]{1-x}.\sqrt[3]{(1-x)^2} \end{align} $
*). Menentukan nilai limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x-1+\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{1-x^2}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{-(1-x)+\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{(1+x)(1-x)}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{-\sqrt[3]{1-x}\sqrt[3]{(1-x)^2}+\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{1+x}\sqrt[3]{1-x}} \\ & \, \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan, coret } \sqrt[3]{1-x} \, ) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{-\sqrt[3]{(1-x)^2}+1}{\sqrt[3]{1+x}} \\ & = \frac{-\sqrt[3]{(1-1)^2}+1}{\sqrt[3]{1+1}} \\ & = \frac{-\sqrt[3]{0}+1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{0+1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{\sqrt[3]{2}} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar