Pembahasan Turunan UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Diberika $ f(x) = (ax^2+bx+c)(x^2+x) $ . Jika $ f^\prime (0) = 3 $ dan $ f^\prime (-1) = 10 $ , maka $ f^\prime \left( -\frac{1}{2} \right) = .... $
A). $ -\frac{15}{4} \, $ B). $ -\frac{13}{4} \, $ C). $ -\frac{11}{4} \, $ D). $ -\frac{9}{4} \, $ E). $ -\frac{7}{4} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus dasar turunan :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
$ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U . V^\prime $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan Turunan :
$\begin{align} f(x) & = (ax^2+bx+c)(x^2+x) = U.V \\ U & = ax^2+bx+c \rightarrow U^\prime = 2ax + b \\ V & = x^2+x \rightarrow V^\prime = 2x + 1 \\ f^\prime (x) & = U^\prime . V + U . V^\prime \\ f^\prime (x) & = (2ax+b)(x^2+x) + (ax^2+bx+c)(2x+1) \end{align} $
*). Bentuk $ f^\prime (0) = 3 $ :
$\begin{align} f^\prime (0) & = 3 \\ (2a.0+b)(0^2+0) + (a.0^2+b.0+c)(2.0+1) & = 3 \\ 0 + c & = 3 \\ c & = 3 \end{align} $
*). Bentuk $ f^\prime (-1) = 10 $
$\begin{align} f^\prime (-1) & = 10 \\ (2a(-1)+b)((-1)^2+(-1)) + \, \, \, & \\ (a(-1)^2+b(-1)+c)(2(-1)+1) & = 10 \\ (-2a+b)(1-1) + (a-b+c)(-2+1) & = 10 \\ (-2a+b)(0) + (a-b+3)(-1) & = 10 \\ 0 -a + b - 3 & = 10 \\ -a + b & = 13 \\ a - b & = -13 \end{align} $
*). Menentukan Nilai $ f^\prime \left( -\frac{1}{2} \right) $ dengan $ c = 3 $ dan $ a - b = -13 $ :
$\begin{align} f^\prime \left( -\frac{1}{2} \right) & = (2a\left( -\frac{1}{2} \right)+b)(\left( -\frac{1}{2} \right)^2+\left( -\frac{1}{2} \right)) \\ & \, \, \, \, \, \, \, \, + (a\left( -\frac{1}{2} \right)^2+b\left( -\frac{1}{2} \right)+c)(2\left( -\frac{1}{2} \right)+1) \\ & = (-a+b)\left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{a}{4} - \frac{b}{2} + 3 \right)(-1+1) \\ & = (-a+b)\left( -\frac{1}{4} \right) + \left( \frac{a}{4} - \frac{b}{2} + 3 \right)(0) \\ & = \frac{a-b}{4} + 0 = \frac{-13}{4} \end{align} $
Jadi, nilai $ f^\prime \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{13}{4} . \, \heartsuit $

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