Pembahasan Invers Fungsi UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan fungsi $ f(x) = \frac{2x-1}{x+1} $. Nilai $(f^{-1}\circ f^{-1})(\frac{1}{2}) $ adalah ....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Komposisi fungsi :
$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $
*). Definisi invers fungsi :
$ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1}(x) $
*). Invers bentuk :
$ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow f^{-1}{x} = \frac{-dx+b}{cx-a} $
Atau
$ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow f^{-1}{x} = \frac{dx-b}{-cx+a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan invers dari fungsi $ f(x) = \frac{2x-1}{x+1} $ :
$\begin{align} y & = \frac{2x-1}{x+1} \\ xy + y & = 2x - 1 \\ xy - 2x & = -y - 1 \\ x(y-2) & -y - 1 \\ x & = \frac{-y-1}{y-2} \\ f^{-1}(y) & = \frac{-y-1}{y-2} \\ f^{-1}(x) & = \frac{-x-1}{x-2} \end{align} $
-). Bisa juga menggunakan rumus berikut :
$ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow f^{-1}{x} = \frac{-dx+b}{cx-a} $
$ f(x) = \frac{2x-1}{x+1} \rightarrow f^{-1}(x) = \frac{-x -1}{x - 2} $
*). Menentukan nilai $ (f^{-1}\circ f^{-1})(\frac{1}{2}) $ :
$\begin{align} (f^{-1}\circ f^{-1})(\frac{1}{2}) & = f^{-1} \left( f^{-1} (\frac{1}{2}) \right) \\ & = f^{-1} \left( \frac{-(\frac{1}{2}) -1}{(\frac{1}{2}) - 2} \right) \\ & = f^{-1} \left( \frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{3}{2}} \right) \\ & = f^{-1} \left( 1 \right) \\ & = \frac{-1 -1}{1 - 2} \\ & = \frac{-2}{-1} = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ (f^{-1}\circ f^{-1})(\frac{1}{2}) = 2 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar