Cara 3 Pembahasan Limit UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9x-9}} {(\sqrt[3]{x}-1)^\frac{1}{3}} = .... $
A). $ 27 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Limit bentuk tak tentu yaitu $ \frac{0}{0} $ dapat diselesaikan dengan turunan.
*). Penerapan turunan pada limit :
$ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \rightarrow \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f^{-1}(x)}{g^{-1}(x)} $
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
*). Sifat bentuk akar :
$ \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} $
$ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} $
*). Sifat limit :
$ \displaystyle \lim_{x \to a } \sqrt[n]{f{x}} = \sqrt[n]{ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9x-9}} {(\sqrt[3]{x}-1)^\frac{1}{3}} = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9x-9}} {\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}-1}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \sqrt[3]{ \frac{ 9x-9}{ \sqrt[3]{x}-1 } } \\ & = \sqrt[3]{ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{ 9x-9}{ x^\frac{1}{3} -1 } } \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ & = \sqrt[3]{ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{ 9 }{ \frac{1}{3}x^\frac{-2}{3} } } = \sqrt[3]{ \frac{ 9 }{ \frac{1}{3}.1^\frac{-2}{3} } } \\ & = \sqrt[3]{ \frac{ 9 }{ \frac{1}{3} } } = \sqrt[3]{ 9 \times 3 } = \sqrt[3]{ 27} = 3 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 3 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar