Pembahasan Limit UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9x-9}} {(\sqrt[3]{x}-1)^\frac{1}{3}} = .... $
A). $ 27 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Limit bentuk tak tentu yaitu $ \frac{0}{0} $ dapat diselesaikan dengan cara pemfaktoran.
*). Bentuk pemfaktoran :
$ x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2) $
*). Sifat bentuk akar :
$ \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} $
$ \sqrt[n]{a.b} = \sqrt[n]{a} . \sqrt[n]{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). memfaktorkan :
Bentuk $ x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2) $
Bentuk $ x = \left( x^\frac{1}{3} \right)^3 = \left( \sqrt[3]{x} \right)^3 $
$\begin{align} x - 1 & = (\sqrt[3]{x} )^3 - 1^3 \\ & = (\sqrt[3]{x} - 1)( (\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} . 1 + 1^2) \\ & = (\sqrt[3]{x} - 1)( (\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} + 1 ) \end{align} $
*). Menyelesaikan limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9x-9}} {(\sqrt[3]{x}-1)^\frac{1}{3}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9(x-1)}} {\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}-1 }} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{(x-1)}} {\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}-1 }} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{(\sqrt[3]{x} - 1)( (\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} + 1 )}} {\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}-1 }} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{(\sqrt[3]{x} - 1)}.\sqrt[3]{( (\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} + 1 )}} {\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}-1 }} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{\sqrt[3]{x} - 1}.\sqrt[3]{(\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} + 1 }} {\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}-1 }} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{(\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} + 1 }} {1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{(\sqrt[3]{x} )^2 + \sqrt[3]{x} + 1 } \\ & = \sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{(\sqrt[3]{1} )^2 + \sqrt[3]{1} + 1 } \\ & = \sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{3 } = \sqrt[3]{9.3} = \sqrt[3]{27} = 3 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 3 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar