Nomor 11
Jika $A=\left( \begin{matrix} a & b & c \\ 1 & -1 & 1 \end{matrix} \right) , \, B=\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)$ ,
dan determinan matriks $AB$ adalah 4, maka nilai $ a + b \, $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $AB$ :
$AB = \left( \begin{matrix} a & b & c \\ 1 & -1 & 1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a+b & 2a-b+c \\ 0 & 4 \end{matrix} \right)$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a + b $ :
$\begin{align} \text{Det}(AB) & = 4 \\ \left| \begin{matrix} a+b & 2a-b+c \\ 0 & 4 \end{matrix} \right| & = 4 \\ 4.(a+b) - 0 . (2a-b+c) & = 4 \\ 4.(a+b) & = 4 \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ a + b & = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b = 1 . \heartsuit $
$AB = \left( \begin{matrix} a & b & c \\ 1 & -1 & 1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a+b & 2a-b+c \\ 0 & 4 \end{matrix} \right)$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a + b $ :
$\begin{align} \text{Det}(AB) & = 4 \\ \left| \begin{matrix} a+b & 2a-b+c \\ 0 & 4 \end{matrix} \right| & = 4 \\ 4.(a+b) - 0 . (2a-b+c) & = 4 \\ 4.(a+b) & = 4 \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ a + b & = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b = 1 . \heartsuit $
Nomor 12
Hasil kali 3 suku pertama suatu barisan aritmetika adalah 105. Jika jumlah tiga suku pertama tersebut adalah 15, maka selisih
suku pertama dan suku ketiga barisan tersebut adalah .....
$\clubsuit \, $ Barisan aritmetika :
$ u_n = a + (n-1) b \, \, \, \, $ dan $ s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
$\clubsuit \, $ Jumlah tiga suku pertama = 15
$\begin{align} s_3 & = 15 \\ \frac{3}{2}(2a + (3-1)b) & = 15 \\ \frac{3}{2}(2a + 2b) & = 15 \\ 3(a+b) & = 15 \\ a + b & = 5 \\ u_2 & = 5 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Hasil kali tiga suku pertama = 105
$\begin{align} u_1.u_2.u_3 & = 105 \, \, \, \, \text{ (substitusi } u_2 = 5 ) \\ u_1.5.u_3 & = 105 \, \, \, \, \text{ (bagi 5 ) } \\ u_1 . u_3 & = 21 \\ u_1 . u_3 & = 3.7 \end{align}$
artinya nilai $ u_1 = 3 , \, u_3 = 7 \, $ atau $ u_1 = 7 , \, u_3 = 3 \, $ , tetapi memiliki selisih yang sama yaitu 7 - 3 = 4 .
Jadi, selisih suku pertama dan ketiga adalah 4. $ \heartsuit $
Catatan : dari nilai $ u_2 = 5 \, $ dan $ u_1.u_3 = 21 \, $ , bisa ditentukan nilai $ a \, $ dan $ b \, $ terlebih dahulu, kemudian kita tentukan nilai suku pertama dan ketiganya.
$ u_n = a + (n-1) b \, \, \, \, $ dan $ s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
$\clubsuit \, $ Jumlah tiga suku pertama = 15
$\begin{align} s_3 & = 15 \\ \frac{3}{2}(2a + (3-1)b) & = 15 \\ \frac{3}{2}(2a + 2b) & = 15 \\ 3(a+b) & = 15 \\ a + b & = 5 \\ u_2 & = 5 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Hasil kali tiga suku pertama = 105
$\begin{align} u_1.u_2.u_3 & = 105 \, \, \, \, \text{ (substitusi } u_2 = 5 ) \\ u_1.5.u_3 & = 105 \, \, \, \, \text{ (bagi 5 ) } \\ u_1 . u_3 & = 21 \\ u_1 . u_3 & = 3.7 \end{align}$
artinya nilai $ u_1 = 3 , \, u_3 = 7 \, $ atau $ u_1 = 7 , \, u_3 = 3 \, $ , tetapi memiliki selisih yang sama yaitu 7 - 3 = 4 .
Jadi, selisih suku pertama dan ketiga adalah 4. $ \heartsuit $
Catatan : dari nilai $ u_2 = 5 \, $ dan $ u_1.u_3 = 21 \, $ , bisa ditentukan nilai $ a \, $ dan $ b \, $ terlebih dahulu, kemudian kita tentukan nilai suku pertama dan ketiganya.
Nomor 13
Diketahui deret geometri tak hingga $u_1+u_2+u_3+...$ . Jika rasio deret tersebut adalah $r$ dengan $ -1 < r < 1 $ ,
$u_1+u_2+u_3+...=3 $ , dan $u_3+u_4+u_5 + ....= \frac{1}{3} $ , maka nilai $ r \, $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Rumus dasar :
Jumlah geometri tak hingga : $ s_\infty = \frac{\text{suku pertama}}{1-\text{rasio}} $
Barisan geometri : $ u_n = a.r^{n-1} $
$\spadesuit \, $ Menentukan persamaan
Persamaan pertama :
$\begin{align} u_1+u_2+u_3+... & = 3 \\ a+ar+ar^2+... & = 3 \\ (\text{suku pertama } = a , & \, \text{ rasio } = r ) \\ s_\infty & = 3 \\ \frac{a}{1-r} & = 3 \\ a & = 3(1-r) \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
Persamaan kedua :
$\begin{align} u_3+u_4+u_5 + ....= \frac{1}{3} \\ ar^2+ar^3+ar^4 + ....= \frac{1}{3} \\ (\text{suku pertama } = ar^2 , & \, \text{ rasio } = r ) \\ s_\infty & = \frac{1}{3} \\ \frac{ar^2}{1-r} & = \frac{1}{3} \, \, \, \, \text{(kalikan silang)} \\ 3ar^2 & = (1-r) \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} 3ar^2 & = (1-r) \\ 3.[3(1-r)]r^2 & = (1-r) \\ 9(1-r)r^2 & = (1-r) \\ 9r^2 & = 1 \\ r^2 & = \frac{1}{9} \\ r & = \pm \sqrt{\frac{1}{9}} = \pm \frac{1}{3} \end{align}$
Jadi, nilai $ r = \frac{1}{3} \, $ atau $ r = - \frac{1}{3} . \heartsuit $
Jumlah geometri tak hingga : $ s_\infty = \frac{\text{suku pertama}}{1-\text{rasio}} $
Barisan geometri : $ u_n = a.r^{n-1} $
$\spadesuit \, $ Menentukan persamaan
Persamaan pertama :
$\begin{align} u_1+u_2+u_3+... & = 3 \\ a+ar+ar^2+... & = 3 \\ (\text{suku pertama } = a , & \, \text{ rasio } = r ) \\ s_\infty & = 3 \\ \frac{a}{1-r} & = 3 \\ a & = 3(1-r) \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
Persamaan kedua :
$\begin{align} u_3+u_4+u_5 + ....= \frac{1}{3} \\ ar^2+ar^3+ar^4 + ....= \frac{1}{3} \\ (\text{suku pertama } = ar^2 , & \, \text{ rasio } = r ) \\ s_\infty & = \frac{1}{3} \\ \frac{ar^2}{1-r} & = \frac{1}{3} \, \, \, \, \text{(kalikan silang)} \\ 3ar^2 & = (1-r) \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} 3ar^2 & = (1-r) \\ 3.[3(1-r)]r^2 & = (1-r) \\ 9(1-r)r^2 & = (1-r) \\ 9r^2 & = 1 \\ r^2 & = \frac{1}{9} \\ r & = \pm \sqrt{\frac{1}{9}} = \pm \frac{1}{3} \end{align}$
Jadi, nilai $ r = \frac{1}{3} \, $ atau $ r = - \frac{1}{3} . \heartsuit $
Nomor 14
Parabola $ y = x^2 - 2x + m + 2 \, $ mempunyai titik puncak ($p,q$). Jika $ 3p \, $ dan $ q \, $ dua suku
pertama deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah 9, maka nilai $ m \, $ adalah ....
$\clubsuit \,$ Konsep dasar fungsi kuadrat : $ y = ax^2 + bx + c $
*) titik puncak : ($x_p,y_p$)
$ x_p = \frac{-b}{2a}, \, \, y_p = f(x_p) = \frac{D}{-4a} $
**) Jumlah deret tak hingga geometri : $ s_\infty = \frac{a}{1-r} $
$\clubsuit \,$ Fungsi kuadrat : $ y = x^2 - 2x + m + 2 $
$ a = 1, \, b = -2, \, c = m + 2 $
$\clubsuit \,$ Titik puncaknya : $ (x_p,y_p) = (p,q) $
$\begin{align} x_p & = \frac{-b}{2a} \\ p & = \frac{-(-2)}{2.1} \\ p & = 1 \end{align} $
$\clubsuit \,$ Menentukan persamaan $ q \, $ dan $ m \, $ dari $ y = x^2 - 2x + m + 2 $
$ (x_p,y_p) = (p,q) \, $ , artinya $ x_p = p = 1 \, $ dan $ y_p = q $
$\begin{align} y_p & = f(x_p) \\ q & = f(p) \\ q & = f(1) \\ q & = 1^2 - 2.1 + m + 2 \\ q & = m + 1 \\ m & = q - 1 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
$\clubsuit \,$ Barisan tak hingga dari $ 3p, \, q, \, .... $
dengan $ p =1 , \, $ barisannya menjadi : $ 3, \, q , \, .... $
sehingga : $ a = 3 , \, $ dan $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{q}{3} $
Jumlah tak hingganya = 9
$\begin{align} s_\infty & = 9 \\ \frac{a}{1-r} & = 9 \\ a & = 9 (1-r) \\ 3 & = 9 ( 1- \frac{q}{3} ) \\ 3 & = 9 - 3q \\ q & = 2 \end{align} $
pers(i) : $ m = q - 1 = 2 - 1 = 1 $
Jadi, nilai $ m = 1 . \heartsuit $
*) titik puncak : ($x_p,y_p$)
$ x_p = \frac{-b}{2a}, \, \, y_p = f(x_p) = \frac{D}{-4a} $
**) Jumlah deret tak hingga geometri : $ s_\infty = \frac{a}{1-r} $
$\clubsuit \,$ Fungsi kuadrat : $ y = x^2 - 2x + m + 2 $
$ a = 1, \, b = -2, \, c = m + 2 $
$\clubsuit \,$ Titik puncaknya : $ (x_p,y_p) = (p,q) $
$\begin{align} x_p & = \frac{-b}{2a} \\ p & = \frac{-(-2)}{2.1} \\ p & = 1 \end{align} $
$\clubsuit \,$ Menentukan persamaan $ q \, $ dan $ m \, $ dari $ y = x^2 - 2x + m + 2 $
$ (x_p,y_p) = (p,q) \, $ , artinya $ x_p = p = 1 \, $ dan $ y_p = q $
$\begin{align} y_p & = f(x_p) \\ q & = f(p) \\ q & = f(1) \\ q & = 1^2 - 2.1 + m + 2 \\ q & = m + 1 \\ m & = q - 1 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
$\clubsuit \,$ Barisan tak hingga dari $ 3p, \, q, \, .... $
dengan $ p =1 , \, $ barisannya menjadi : $ 3, \, q , \, .... $
sehingga : $ a = 3 , \, $ dan $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{q}{3} $
Jumlah tak hingganya = 9
$\begin{align} s_\infty & = 9 \\ \frac{a}{1-r} & = 9 \\ a & = 9 (1-r) \\ 3 & = 9 ( 1- \frac{q}{3} ) \\ 3 & = 9 - 3q \\ q & = 2 \end{align} $
pers(i) : $ m = q - 1 = 2 - 1 = 1 $
Jadi, nilai $ m = 1 . \heartsuit $
Nomor 15
Kode hadiah kupon belanja suatu toko swalayan berbentuk bilangan yang disusun dari angka 1, 3, 3, 5, 7. Jika kupon-kupon tersebut
disusun berdasarkan kodenya mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar, maka kupon dengan kode kurang daripada
53000 sebanyak ...
$\spadesuit \, $ Pilihan angkanya : 1, 3, 3, 5, 7
Total atau banyaknya kupon yang terbentuk dari angka-angka 1, 3, 3, 5, 7 ada $ \frac{5!}{2!} = 5.4.3 = 60 \, $ kupon.
$\spadesuit \, $ Dari pembahasan soal SBMPTN Matematika dasar kode 323 tahun 2013 nomor 15 , banyak kupon yang lebih besar daripada 53000 ada 21 kupon, sehingga banyak kupon yang lebih kecil atau kurang daripada 53000 ada :
Banyaknya = total kupon - kupon lebih dari 53000 = 60 - 21 = 39 kupon.
Jadi, total kupon sebanyak 39 kupon yang kurang dari 53000. $\heartsuit $
Total atau banyaknya kupon yang terbentuk dari angka-angka 1, 3, 3, 5, 7 ada $ \frac{5!}{2!} = 5.4.3 = 60 \, $ kupon.
$\spadesuit \, $ Dari pembahasan soal SBMPTN Matematika dasar kode 323 tahun 2013 nomor 15 , banyak kupon yang lebih besar daripada 53000 ada 21 kupon, sehingga banyak kupon yang lebih kecil atau kurang daripada 53000 ada :
Banyaknya = total kupon - kupon lebih dari 53000 = 60 - 21 = 39 kupon.
Jadi, total kupon sebanyak 39 kupon yang kurang dari 53000. $\heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.