Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 323 tahun 2013


       Pembahasan soal SBMPTN Matematika dasar kode 323 tahun 2013 nomor 1 sampai 10 sama dengan kode 228 yaitu pembahasan soal SBMPTN Matematika Dasar kode 228 tahun 2013 nomor 1 sampai 5  dan  pembahasan soal SBMPTN Matematika Dasar kode 228 tahun 2013 nomor 6 sampai 10 , artinya teman-teman bisa langsung melihat pembahasan kode 228 dari nomor satu sampai 10 langsung.
Semoga bermanfaat. terima kasih.
Nomor 11
Jika $A=\left( \begin{matrix} -2 & -1 & 2 \\ a & b & c \end{matrix} \right) , \, B=\left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right)$ , dan determinan matriks $AB$ adalah 10, maka nilai $ 2b -a \, $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $AB$ :
$AB = \left( \begin{matrix} -2 & -1 & 2 \\ a & b & c \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -5 & 0 \\ a+b-c & a - 2b \end{matrix} \right)$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ 2b - a $ :
$\begin{align} \text{Det}(AB) & = 10 \\ \left| \begin{matrix} -5 & 0 \\ a+b-c & a-2b \end{matrix} \right| & = 10 \\ (-5).(a-2b) - 0 . (a+b-c) & = 10 \\ (-5).(a-2b) - 0 & = 10 \\ (-5).(a-2b) & = 10 \\ 5(2b-a) & = 10 \, \, \, \, \text{(bagi 5)} \\ 2b-a & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ 2b - a = 2. \heartsuit $
Nomor 12
Misalkan $ a, \, 8, \, c, \, d \, $ merupakan suatu barisan aritmetika dan $ a, \, 8, \, d \, $ merupakan barisan geometri, maka nilai $ a + c+ d \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Barisan aritmetika : $ a, \, 8, \, c, \, d \, $
*) Barisan aritmetika : $ a, \, 8, \, c $
Selisih sama : $ 8-a = c-8 \rightarrow a + c = 16 \, $ .....pers(i)
**) Barisan aritmetika : $ 8, \, c, \, d \, $
Selisih sama : $ c-8 = d-c \rightarrow c = \frac{8+d}{2} \, $ .....pers(ii)
***) Barisan geometri : $ a, \, 8, \, d \, $
Rasio sama : $ \frac{8}{a} = \frac{d}{8} \rightarrow ad = 64 \, $ .....pers(iii)
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(ii) ke pers(i)
$\begin{align} a + c & = 16 \\ a + \frac{8+d}{2} & = 16 \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 2a + 8 + d & = 32 \\ a & = \frac{24 - d}{2} \, \, \, \, \, \text{....pers(iv)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(iv) ke pers(iii)
$\begin{align} ad & = 64 \\ \frac{24 - d}{2}.d & = 64 \, \, \, \text{(kali 2)} \\ (24-d)d & = 128 \\ 24d-d^2 & = 128 \\ d^2 - 24d + 128 & = 0 \\ (d-8)(d-16) & = 0 \\ d = 8 \vee d & = 16 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Berdasarkan pers(i) : $ a + c = 16 \, $ dan $ d = 8 \vee d = 16 $
$\begin{align} d = 8 \rightarrow a + c + d & =(a+c)+d= 16 + 8 = 24 \\ d = 16 \rightarrow a + c + d & =(a+c)+d= 16 + 16 = 32 \end{align}$
Jadi, nilai $ a+c+d \, $ adalah 24 atau 32. $ \heartsuit $
Nomor 13
Diketahui deret geometri tak hingga $u_1+u_2+u_3+...$ . Jika rasio deret tersebut adalah $r$ dengan $ -1 < r < 1 $ , $u_1+u_2+u_3+...=3 $ , dan $u_3+u_4+u_5 + ....=1 $ , maka nilai $ r $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Rumus dasar :
Jumlah geometri tak hingga : $ s_\infty = \frac{\text{suku pertama}}{1-\text{rasio}} $
Barisan geometri : $ u_n = a.r^{n-1} $
Suku ke-n : $u_n=ar^{n-1}$
$\spadesuit \, $ Menentukan persamaan
Persamaan pertama :
$\begin{align} u_1+u_2+u_3+... & = 3 \\ a+ar+ar^2+... & = 3 \\ (\text{suku pertama } = a , & \, \text{ rasio } = r ) \\ s_\infty & = 3 \\ \frac{a}{1-r} & = 3 \\ a & = 3(1-r) \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
Persamaan kedua :
$\begin{align} u_3+u_4+u_5 + ....=1 \\ ar^2+ar^3+ar^4 + ....=1 \\ (\text{suku pertama } = ar^2 , & \, \text{ rasio } = r ) \\ s_\infty & = 1 \\ \frac{ar^2}{1-r} & = 1 \\ ar^2 & = (1-r) \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} ar^2 & = (1-r) \\ 3(1-r)r^2 & = (1-r) \\ 3r^2 & = 1 \\ r^2 & = \frac{1}{3} \\ r & = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \end{align}$
Jadi, nilai $ r = \frac{1}{\sqrt{3}} \, $ atau $ r = - \frac{1}{\sqrt{3}} . \heartsuit $
Nomor 14
Parabola $ y = x^2 - 2x + 3m - 1 \, $ mempunyai titik puncak ($p,q$). Jika $ 2p \, $ dan $ \frac{q}{4} \, $ dua suku pertama deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah 4, maka nilai $ m \, $ adalah ....
$\clubsuit \,$ Konsep dasar fungsi kuadrat : $ y = ax^2 + bx + c $
*) titik puncak : ($x_p,y_p$)
$ x_p = \frac{-b}{2a}, \, \, y_p = f(x_p) = \frac{D}{-4a} $
**) Jumlah deret tak hingga geometri : $ s_\infty = \frac{a}{1-r} $
$\clubsuit \,$ Fungsi kuadrat : $ y = x^2 - 2x + 3m - 1 $
$ a = 1, \, b = -2, \, c = 3m - 1 $
$\clubsuit \,$ Titik puncaknya : $ (x_p,y_p) = (p,q) $
$\begin{align} x_p & = \frac{-b}{2a} \\ p & = \frac{-(-2)}{2.1} \\ p & = 1 \end{align} $
$\clubsuit \,$ Menentukan persamaan $ q \, $ dan $ m \, $ dari $ y = x^2 - 2x + 3m - 1 $
$ (x_p,y_p) = (p,q) \, $ , artinya $ x_p = p = 1 \, $ dan $ y_p = q $
$\begin{align} y_p & = f(x_p) \\ q & = f(p) \\ q & = f(1) \\ q & = 1^2 - 2.1 + 3m - 1 \\ q & = 3m - 2 \\ m & = \frac{q+2}{3} \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
$\clubsuit \,$ Barisan tak hingga dari $ 2p, \, \frac{q}{4}, \, .... $
dengan $ p =1 , \, $ barisannya menjadi : $ 2, \, \frac{q}{4}, \, .... $
sehingga : $ a = 2 , \, $ dan $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{\frac{q}{4}}{2} = \frac{q}{8} $
Jumlah tak hingganya = 4
$\begin{align} s_\infty & = 4 \\ \frac{a}{1-r} & = 4 \\ a & = 4 (1-r) \\ 2 & = 4 ( 1- \frac{q}{8} ) \\ 2 & = 4 - \frac{q}{2} \\ q & = 4 \end{align} $
pers(i) : $ m = \frac{q+2}{3} = \frac{4+2}{3} = \frac{6}{3} = 2 $
Jadi, nilai $ m = 2 . \heartsuit $
Nomor 15
Kode hadiah kupon belanja suatu toko swalayan berbentuk bilangan yang disusun dari angka 1, 3, 3, 5, 7. Jika kupon-kupon tersebut disusun berdasarkan kodenya mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar, maka kupon dengan kode lebih besar daripada 53000 sebanyak ...
$\spadesuit \, $ Pilihan angkanya : 1, 3, 3, 5, 7
kode lebih besar daripada 53000, disusun berdasarkan puluhan ribuannya dibagi menjadi tiga kasus :
sbmptn_matdas_k323_4_2013.png
Total cara = 6 + 3 + 12 = 21 cara.
$\spadesuit \, $ Penjelasan :
Kasus I, Puluhan ribuannya angka 5 dan ribuannya angka 3 dan sisanya (Ratusan, Puluhan, Satuan) dipilih dari angka 1, 3, 7 yaitu permutasinya sebanyak 3! = 6 susunan.
contohnya : 53137, 53173, 53317, 53371, 53713, dan 53731.
Begitu juga untuk kasus II dan III .
Jadi, total kupon sebanyak 21 kupon yang lebih besar dari 53000. $\heartsuit $  

2 komentar:

  1. Yang nomor 15 kenapa dibagi 2! ?

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @Andhika,

      Terima kasih untuk pertanyaannya.
      Dibagi $ 2! $ karena ada dua angka yang sama yaitu $ 3 , 3 $ (angka 3 dua kali).

      Coba ingat kembali bentuk permutasi berulang (ada unsur yang sama).

      Terima kasih untuk kunjungannya ke blog dunia informa ini.

      Semoga terus bermanfaat.

      Hapus