Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 228 tahun 2013 nomor 11 sampai 15


         Soal dan pembahasan SBMPTN matematika dasar kode 228 tahun 2013 dari nomor 11 sampai nomor 15 sama persis dengan  soal SBMPTN matematika dasar kode 326 tahun 2013 dari nomor 11 sampai nomor 15 . Tetapi tetap kami tampilkan di sini agar teman-teman tidak perlu bolak-balik mengunjungi pembahasan soal kode 326 dan agar nomr soal tetap komplit dari nomor 1 sampai 15. Semoga bermanfaat.
Nomor 11
Jika $A=\left( \begin{matrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & a \end{matrix} \right) , \, B=\left( \begin{matrix} a & 3 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right)$ , dan determinan matriks $AB$ adalah 0, maka nilai $3a^2-20a$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $AB$ :
$AB = \left( \begin{matrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & a \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} a & 3 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 3a+3 & 11 \\ 4a+1 & a + 7 \end{matrix} \right)$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $3a^2 - 20a$ :
$\begin{align*} \text{Det}(AB) & = 0 \\ \left| \begin{matrix} 3a+3 & 11 \\ 4a+1 & a + 7 \end{matrix} \right| & = 0 \\ (3a+3)(a+7)-11(4a+1) & = 0 \\ (3a^2+24a+21) - (44a+11) & = 0 \\ 3a^2-20a+10 & = 0 \\ 3a^2 - 20a & = -10 \end{align*} $
Jadi, nilai $ 3a^2 - 20a = -10. \, \heartsuit $
Nomor 12
Diketahui $a, \, b,$ dan $c$ adalah tiga suku pertama suatu barisan aritmetika dengan $b > 0$ . Jika $a+b+c=b^2-4$ , maka nilai $b$ adalah ...
$\clubsuit \, a, \, b,$ dan $c$ barisan aritmatika (selisih sama).
$b-a = c - b \Rightarrow a+c = 2b \, $ ...pers(i)
dari soal diketahui juga : $a+b+c=b^2-4 \, $ ...per(ii)
$\clubsuit \, $ Substiutusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align*} a+b+c &=b^2-4 \\ (a+c)+b &=b^2-4 \, \text{(posisi b dan c ditukar)}\\ 2b + b &= b^2-4 \\ b^2-3b-4 & = 0 \\ (b-4)(b+1) & = 0 \\ b=4 \, & \vee \, b=-1 \end{align*}$
karena nilai $b > 0$ , maka nilai $b$ yang memenuhi adalah $b=4$ .
Jadi, nilai $b=4. \heartsuit $
Nomor 13
Diketahui deret geometri tak hingga $u_1+u_2+u_3+...$ . Jika rasio deret tersebut adalah $r$ dengan $ -1 < r < 1 $ , $u_2+u_4+u_6...=4$ , dan $u_2+u_4=3$ , maka nilai $r^2$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Rumus dasar :
Jumlah geometri tak hingga genap : $S_{\infty} (\text{genap}) = \frac{ar}{1-r^2} $
Suku ke-n : $U_n=ar^{n-1}$
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk $u_2+u_4+u_6...=4$
$\begin{align*} u_2+u_4+u_6... & = 4 \\ S_{\infty} (\text{genap}) & = 4 \\ \frac{ar}{1-r^2} & = 4 \\ ar & = 4 (1-r^2) \, \, \text{...pers(i)} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk $u_2+u_4=3$
$\begin{align*} u_2+u_4 & = 3 \\ ar + ar^3 & = 3 \\ ar(1+r^2) & = 3 \\ ar & = \frac{3}{1+r^2} \, \, \text{...pers(ii)} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(ii) ke pers(i) :
$\begin{align*} ar & = 4 (1-r^2) \, \, \text{...pers(i)} \\ \frac{3}{1+r^2} & = 4 (1-r^2) \, \, \text{(kali silang)}\\ 3 & = 4 (1-r^2)(1+r^2) \\ 3 & = 4 \left[ 1-(r^2)^2 \right] \\ 3 & = 4 - 4(r^2)^2 \\ 4(r^2)^2 & = 4 - 3 \\ 4(r^2)^2 & = 1 \\ (r^2)^2 & = \frac{1}{4} \\ r^2 & = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} \Leftrightarrow r^2 = \pm \frac{1}{2} \end{align*}$
$r^2 = -\frac{1}{2} \, $ (tidak memenuhi karena bentuk kuadrat selalu positif).
$r^2 = \frac{1}{2} \, $ (memenuhi).
Jadi, nilai $ r^2 = \frac{1}{2} . \heartsuit $
Nomor 14
Parabola $y=x^2-(2k+1)x+3k $ memotong sumbu-Y di (0,$c$) dan memotong sumbu-X di ($a$,0) dan ($b$,0). Jika $3a,2c-4,$ dan $3b+1$ membentuk barisan aritmetika, maka nilai $k$ adalah ...
$\clubsuit \,$ Substitusi titik (0,c) ke parabola : $y=x^2-(2k+1)x+3k $
$y=x^2-(2k+1)x+3k \Rightarrow c=0^2-(2k+1).0+3k \Rightarrow c = 3k. $
$\clubsuit \, $ Parabola memotong sumbu X di (a,0) dan (b,0) , artinya a dan b adalah akar-akar dari $x^2-(2k+1)x+3k = 0 \, $ , sehingga berlaku rumus penjumlahan akar-akar :
$a+b = \frac{-b}{a} = \frac{-(-(2k+1))}{1} \Leftrightarrow a+b = 2k + 1 \, $ ...pers(i)
$\clubsuit \,$ Barisan aritmatika $3a,2c-4,$ dan $3b+1$ , selisihnya sama :
$\begin{align*} (2c-4) - 3a & = (3b+1) - (2c-4) \\ (2c-4) + (2c-4) & = (3b+1) + 3a \\ 4c-8 & = 3(a+b) + 1 \, \, \text{(gunakan pers(i) dan } \, c = 3k )\\ 4(3k)-8 & = 3 (2k+1) + 1 \\ 12k - 8 & = 6k + 3 + 1 \\ 6k & = 4 + 8 \\ k & = \frac{12}{6} = 2 \end{align*} $
Jadi, nilai $k=2 . \heartsuit $
Nomor 15
Kode hadiah kupon belanja suatu toko swalayan berbentuk bilangan yang disusun dari angka 1, 2, 2, 6, 8. Jika kupon-kupon tersebut disusun berdasarkan kodenya mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar, maka kupon dengan kode lebih besar daripada 62000 sebanyak ...
$\spadesuit \, $ Pilihan angkanya : 1, 2, 2, 6, 8
kode lebih besar daripada 62000, disusun berdasarkan puluhan ribuannya dibagi menjadi tiga kasus :
sbmptn_matdas_k228_4_2013.png
Total cara = 6 + 3 + 12 = 21 cara.
$\spadesuit \, $ Penjelasan :
Kasus I, Puluhan ribuannya angka 6 dan ribuannya angka 2 dan sisanya (Ratusan, Puluhan, Satuan) dipilih dari angka 1, 2, 8 yaitu permutasinya sebanyak 3! = 6 susunan.
contohnya : 62128, 62182, 62218, 62281, 62812, dan 62821.
Begitu juga untuk kasus II dan III .
Jadi, total kupon sebanyak 21 kupon yang lebih besar dari 62000. $\heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar