Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 228 tahun 2013 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Jika $-2 < a < -1 $ , maka semua nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{x^2+2x-3a}{x^2 + 4x }\geq 0$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Nilai diskriminan (D) dari pembilangnya: $x^2+2x-3a$
$D=b^2-4ac=(2)^2-4.1.(-3a)=4+12a \, , $ diperoleh $ D = 4 + 12a $
karena nilai $a$ terletak pada interval $ -2 < a < -1 $ , maka nilai D negatif ($D<0$).
$x^2+2x-3a \left\{ \begin{array}{c} D < 0 \\ a=1 > 0 \end{array} \right. $
ini artinya $x^2+2x-3a \, $ definit positif (nilainya akan selalu positif untuk semua $x$), sehingga $x^2+2x-3a$ bisa dicoret (tanda ketaksamaan tidak dibalik).
$\begin{align} \frac{x^2+2x-3a}{x^2 + 4x }\geq 0 \rightarrow \frac{1}{x(x+4)}\geq 0 \Leftrightarrow x=0 \vee x=-4 \end{align}$
sbmptn_matdas_k228_3_2013.png
Karena yang diminta $ \geq 0 \, $ , maka solusinya adalah $ \{ x < -4 \vee x > 0 \} \, $ . Meskipun ada sama dengannya ( $ \geq 0 $) , tetapi akar penyebut wajib tidak boleh ikut karena penyebut tidak boleh bernilai nol.
Jadi, solusinya adalah $HP = \{ x < -4 \vee x > 0 \}. \heartsuit $
Catatan : jika definit negatif (syarat $ D < 0 \, $ dan $ a < 0 $ ), maka tanda ketaksamaan dibalik.
Nomor 7
Pada tahun 2010 populasi sapi di kota A adalah 1.600 ekor dan di kota B 500 ekor. Setiap bulan terjadi peningkatan pertumbuhan 25 ekor di kota A dan 10 ekor di kota B. Pada saat populasi sapi di kota A tiga kali populasi sapi di kota B, populasi sapi di kota B adalah ....
$\clubsuit \, $ Barisan aritmatika : $ u_n = a+ (n-1)b $
Kasus pada soal ini merupakan barisan aritmetika karena peningkatannya selalu sama setiap bulan.
$\clubsuit \, $ Menentukan persamaan
*) Kota A : $ a = 1600, \, b =25 $
$ u_n (A) = 1600 + (n-1)25 $
**) Kota B : $ a = 500, \, b = 10 $
$ u_n (B) = 500 + (n-1)10 $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ n \, $ (bulan)
$\begin{align} \text{Populasi kota A} & = 3 \times \text{kota B} \\ 1600 + (n-1)25 & = 3 \times (500 + (n-1)10) \\ 1600 + (n-1)25 & = 1500 + (n-1)30 \\ 1600 + 25n - 25 & = 1500 + 30n-30 \\ n & = 21 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan populasi kota B saat $ n = 21 $
$\begin{align} u_n (B) & = 500 + (n-1)10 \\ & = 500 + (21-1)10 \\ & = 500 + 200 = 700 \end{align} $
Jadi, banyak populasi kota B ada 700 ekor . $\heartsuit$
Nomor 8
Distribusi berat bayi lahir di rumah sakit A dan B dapat dilihat pada diagram berikut,
sbmptn_matdas_k228_1_2013.png
Berat badan bayi dikatakan normal apabila berat lahirnya lebih dari 2500 gram. Banyak bayi normal yang lahir di dua rumah sakit tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Menghitung banyak bayi normal setiap rumah sakit :
RS A = 60 + 32 = 92
RS B = 68 + 12 = 80
$\spadesuit \, $ Sehingga total bayi normal :
Total = RS A + RS B = 92 + 80 = 172 bayi.
Jadi, banyak bayi normal ada 172 bayi. $\heartsuit$
Nomor 9
Banyak siswa kelas XI A suatu sekolah adalah $ m \, $ siswa. Mereka mengikuti tes matematika dengan hasil sebagai berikut. Lima siswa memperoleh skor 90, siswa yang lain memperoleh skor minimal 60, dan rata-rata skor semua siswa adalah 70. Nilai $ m \, $ terkecil adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep rata-rata gabungan : $ \overline{X}_\text{gb} = \frac{n_1.\overline{X}_1 + n_2.\overline{X}_2}{n_1+n_2} $
Keterangan :
$ n_1 \, $ = banyak kelomok pertama, $ \overline{X}_1 \, $ = rata - rata kelompok pertama,
dan $ \overline{X}_\text{gb} \, $ = rata-rata gabungan semua kelompok.
dari soal diketahui :
$ n_1 = 5, \, \overline{X}_1 = 90, \, n_2 = (m-5) , \, \overline{X}_2 \text{(min)} = 60, \, \overline{X}_\text{gb} = 70 $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ m $
Karena yang dipilih rata-rata kelompok dua ($\overline{X}_2$) adalah rata-rata minimal, maka rata-rata gabungan aslinya lebih besar dari rata-rata gabungan minimalnya.
$\begin{align} \overline{X}_\text{gb} & \geq \overline{X}_\text{gb} \text{(minimal)} \\ \overline{X}_\text{gb} & \geq \frac{n_1.\overline{X}_1 + n_2.\overline{X}_2 \text{(minimal)}}{n_1+n_2} \\ 70 & \geq \frac{5.90 + (m-5).60 }{5 + (m-5)} \\ 70 & \geq \frac{450 + 60m-300 }{m} \\ 70m & \geq 60m + 150 \\ 10 m & \geq 150 \\ m & \geq 15 \end{align}$
karena nilai $ m \geq 15 \, $ , maka nilai $ m \, $ terkecilnya adalah $ m = 15 $ .
Jadi, nilai $ m \, $ terkecil adalah $ m = 15. \heartsuit $
Nomor 10
Jika $f^{-1} \left( \frac{x+5}{x-5} \right) = \frac{8}{x+5} $ , maka nilai $a \, $ sehingga $f(a)=-4 \, $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Konsep invers : $ A=f(B) \Leftrightarrow f^{-1}(A) = B$
Sehingga : $ f^{-1} \left( \frac{x+5}{x-5} \right) = \frac{8}{x+5} \rightarrow \frac{x+5}{x-5} = f \left( \frac{8}{x+5} \right) $
$\spadesuit \, $ Menyamakan bentuk persamaan dengan yang ditanyakan
$\begin{align} \frac{x+5}{x-5} & = f \left( \frac{8}{x+5} \right) \\ -4 & = f(a) \\ \text{ diperoleh kesamaan : } & \frac{x+5}{x-5} = -4 \, \, \text{ dan } \, \, a = \frac{8}{x+5} \\ \frac{x+5}{x-5} = -4 \rightarrow x+5 & = -4x + 20 \\ 5x & = 15 \\ x & = 3 \\ a = \frac{8}{x+5} \rightarrow a & = \frac{8}{3+5} \, \, \, \text{(substitusi } x = 3 ) \\ a & = \frac{8}{8} = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 1 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar