Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 128 tahun 2013 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Jika $ 1 < a < 2 $ , maka semua nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{x^2-6x}{-x^2 + 2ax - 5 } > 0$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Nilai diskriminan (D) dari penyebutnya: $ -x^2 + 2ax - 5 $
$D=b^2-4ac=(2a)^2-4.(-1).(-5)=4a^2-20 \, , $
diperoleh $ D = 4a^2-20 $
karena nilai $a$ terletak pada interval $ 1 < a < 2 $ , maka nilai D negatif ($D<0$).
$-x^2 + 2ax - 5 \left\{ \begin{array}{c} D < 0 \\ a=-1 < 0 \end{array} \right. $
ini artinya $ -x^2 + 2ax - 5 \, $ definit negatif (nilainya akan selalu negatif untuk semua $x$), sehingga $ -x^2 + 2ax - 5 \, $ bisa dicoret (tanda ketaksamaan dibalik).
$\begin{align} \frac{x^2-6x}{-x^2 + 2ax - 5 } > 0 \rightarrow \frac{x(x-6)}{1} > 0 \Leftrightarrow x=0 \vee x=6 \end{align}$
sbmptn_matdas_k128_3_2013.png
Karena yang diminta $ > 0 \, $ , maka solusinya adalah $ \{ x < 0 \vee x > 6 \} \, $
Jadi, solusinya adalah $HP = \{ x < -4 \vee x > 0 \}. \heartsuit $
Catatan : jika definit positif (syarat $ D < 0 \, $ dan $ a > 0 $ ), maka tanda ketaksamaan tidak dibalik.
Nomor 7
Seorang anak melihat dua balon udara di angkasa. Balon udara pertaman berada 10 meter di atas permukaan tanah dan semakin tinggi dengan kecepatan 15 meter per menit. Balon udara kedua berada 120 meter di atas permukaan tanah dan semakin rendah dengan kecepatan 20 meter per menit. Pada saat tinggi balon kedua sama dengan dua kali tinggi balon pertama, maka tinggi balon pertama adalah ....
$\clubsuit \, $ Gambarnya
sbmptn_matdas_k128_4_2013.png
Balon I semakin tinggi dan balon II semakin rendah.
$\clubsuit \, $ Konsep dasar jarak
Jarak = kecepatan $ \times \, $ waktu
Pada kasus ini, jarak yang dimaksud adalah tinggi dari balon (Ti)
Sehingga rumus Tinggi : $ Ti = v \times t $
keterangan :
$ Ti \, $ = tinggi balon dari permukaan tanah
$ v \, $ = kecepatan dan $ t \, $ = waktu
$\clubsuit \, $ Menentukan tinggi kedua balon
*) Balon I : Ti (awal) = 10 m, v = 15 (naik)
Tinggi akhir balon I : Ti(1) = Ti(awal) + $ vt \, $ = 10 + 15t
*) Balon II : Ti (awal) = 120 m, v = -20 (turun)
Tinggi akhir balon II : Ti(2) = Ti(awal) + $ vt \, $ = 120 - 20t
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ t \, $ (waktu)
$\begin{align} \text{tinggi balon II } & = 2 \times \text{ tinggi balon I} \\ 120 - 20t & = 2 \times (10 + 15t) \\ 120 - 20t & = 20 + 30t \\ 50t & = 100 \, \, \, \, \text{(bagi 50)} \\ t & = 2 \end{align} $
$\clubsuit \, $ Menentukan tinggi balon I saat $ t = 2 $
$\begin{align} \text{tinggi balon I } & = 10 + 15t \\ \text{Ti(1) } & = 10 + 15.2 \\ & = 10 + 30 \\ \text{Ti(1) } & = 40 \end{align} $
Jadi, tinggi balon I adalah 40 m . $\heartsuit$
Nomor 8
Distribusi berat bayi lahir di rumah sakit A dan B dapat dilihat pada diagram berikut,
sbmptn_matdas_k128_1_2013.png
Berat badan bayi dikatakan normal apabila berat lahirnya lebih dari 2500 gram. Banyak bayi normal yang lahir di dua rumah sakit tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Menghitung banyak bayi normal setiap rumah sakit :
RS A = 60 + 32 = 92
RS B = 68 + 12 = 80
$\spadesuit \, $ Sehingga total bayi normal :
Total = RS A + RS B = 92 + 80 = 172 bayi.
Jadi, banyak bayi normal ada 172 bayi. $\heartsuit$
Nomor 9
Diketahui data berupa empat bilangan asli yang telah diurutkan mulai dari yang terkecil. Jika median dan selisih antara data terbesar dengan data terkecil adalah 6, maka hasil kali data kedua dan ketiga yang mungkin adalah ....
$\clubsuit \, $ Misal datanya : $ a, \, b, \, c, \, d $
Median = jangkauan = 6
Median = $ \frac{b+c}{2} \rightarrow 6 = \frac{b+c}{2} \rightarrow b+c = 12 \, $ ...pers(i)
Jangkauan = $ d - a \rightarrow 6 = d-a \rightarrow d = a + 6 \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \, $ Menentukan kemungkinan data dari pers(i) dan pers(ii)
karena datanya urut, maka haruslah $ a \leq b \leq c \leq d $
*) untuk $ b = 1 \, $ , maka nilai $ a = 1 \, $ dan $ c = 11 $
datanya : $ 1, 1, 11, 7 \, $ (TM)
*) untuk $ b = 2 \, $ , maka nilai $ a = \{ 1,2 \} \, $ dan $ c = 10 $
datanya : $ 1, 2, 10, 7 \, $ (TM) dan $ 2, 2, 10, 8 \, $ (TM)
*) untuk $ b = 3 \, $ , maka nilai $ a = \{ 1,2,3 \} \, $ dan $ c = 9 $
datanya :
$ 1, 3, 9, 7 \, $ (TM) atau $ 2, 3, 9, 8 \, $ (TM) atau $ 3, 3, 9, 9 \, $ (M)
*) untuk $ b = 4 \, $ , maka nilai $ a = \{ 1,2,3 , 4\} \, $ dan $ c = 8 $
datanya :
$ 1, 4, 8, 7 \, $ (TM) atau $ 2, 4, 8, 8 \, $ (M) atau $ 3, 4, 8, 9 \, $ (M) atau
$ 4, 4, 8, 10 \, $ (M)
*) untuk $ b = 5 \, $ , maka nilai $ a = \{ 1,2,3 , 4, 5 \} \, $ dan $ c = 7 $
datanya :
$ 1, 5, 7, 7 \, $ (M) atau $ 2, 5, 7, 8 \, $ (M) atau $ 3, 5, 7, 9 \, $ (M) atau
$ 4, 5, 7, 10 \, $ (M) atau $ 5, 5, 7, 11 \, $ (M)
*) untuk $ b = 6 \, $ , maka nilai $ a = \{ 1,2,3 , 4, 5, 6 \} \, $ dan $ c = 6 $
datanya :
$ 1, 6, 6, 7 \, $ (M) atau $ 2, 6, 6, 8 \, $ (M) atau $ 3, 6, 6, 9 \, $ (M) atau
$ 4, 6, 6, 10 \, $ (M) atau $ 5, 6, 6, 11 \, $ (M) atau $ 6, 6, 6, 12 \, $ (M)
*) untuk $ b > 6 \, $ , maka tidak memenuhi karena nilai $ c < 6 \, $
(seharusnya $ b \leq c \, $ ).
Keterangan : TM = Tidak Memenuhi dan M = Memenuhi.
$\clubsuit \, $ Hasil kali data kedua dan ketiga adalah perkalian $ b \, $ dan $ c \, $ .
Dari data yang memenuhi (M) di atas, ada beberapa kemungkinan nilai $ b \, $ dan $ c \, $ yaitu :
i) $ b =3, \, c = 9 \, $ perkaliannya = 3 $ \times \, $ 9 = 27
ii) $ b =4, \, c = 8 \, $ perkaliannya = 4 $ \times \, $ 8 = 32
iii) $ b =5, \, c = 7 \, $ perkaliannya = 5 $ \times \, $ 7 = 35
iv) $ b =6, \, c = 6 \, $ perkaliannya = 6 $ \times \, $ 6 = 36
Sehingga perkalian bilangan kedua dan ketiga yang mungkin adalah 27, 32, 35, dan 36.
Jadi, perkalian yang mungkin : 27, 32, 35, 36 (opsi B). $ \heartsuit $
Nomor 10
Jika $f \left( \frac{1}{x-1} \right) = \frac{x-6}{x+3} $ , maka nilai $ f^{-1} (-2) \, $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Konsep invers : $ A=f(B) \Leftrightarrow f^{-1}(A) = B$
Sehingga : $ f \left( \frac{1}{x-1} \right) = \frac{x-6}{x+3} \rightarrow \frac{1}{x-1} = f^{-1} \left( \frac{x-6}{x+3} \right) $
misalkan hasilnya : $ f^{-1} (-2) = a $
$\spadesuit \, $ Menyamakan bentuk persamaan dengan yang ditanyakan
$\begin{align} \frac{1}{x-1} & = f^{-1} \left( \frac{x-6}{x+3} \right) \\ a & = f^{-1} (-2) \\ \text{ diperoleh kesamaan : } & a = \frac{1}{x-1} \, \, \text{ dan } \, \, \frac{x-6}{x+3} = -2 \\ \frac{x-6}{x+3} = -2 \rightarrow x-6 & = -2x - 6 \\ 3x & = 0 \\ x & = 0 \\ a = \frac{1}{x-1} \rightarrow a & = \frac{1}{0-1} \, \, \, \text{(substitusi } x = 0 ) \\ a & = \frac{1}{-1} = -1 \end{align} $
sehingga nilai $ a = -1 \, $ yang artinya $ f^{-1} (-2) = a = -1 $
Jadi, nilai $ f^{-1} (-2) = -1 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar