Kode 381 Pembahasan Barisan Geometri Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ a_n \, $ menyatakan suku ke-$n$ barisan geometri dengan rasio $ r , $ mempunyai sifat $ 0 < r \leq 1 , \, a_3 - a_4 = \frac{5}{8} $ , dan $ \frac{1}{a_3} - \frac{1}{a_4} = -\frac{4}{5} $ , maka $ (r-1)^2 = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{1}{4} \, $ D). $ \frac{1}{16} \, $ E). $ 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Geometri
*). Rumus suku ke-$n$ : $ U_n = ar^{n-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
Persamaan pertama, $ a_3 - a_4 = \frac{5}{8} $
$\begin{align} a_3 - a_4 & = \frac{5}{8} \\ ar^2 - ar^3 & = \frac{5}{8} \\ ar^2(1 - r) & = \frac{5}{8} \\ a & = \frac{5}{8r^2(1 - r)} \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
Persamaan kedua, $ \frac{1}{a_3} - \frac{1}{a_4} = -\frac{4}{5} $
$\begin{align} \frac{1}{a_3} - \frac{1}{a_4} & = -\frac{4}{5} \\ \frac{1}{ar^2} - \frac{1}{ar^3} & = -\frac{4}{5} \\ \frac{1 \times r}{ar^2 \times r} - \frac{1}{ar^3} & = -\frac{4}{5} \\ \frac{ r}{ar^3} - \frac{1}{ar^3} & = -\frac{4}{5} \\ \frac{ r - 1 }{ar^3} & = -\frac{4}{5} \\ r-1 & = -\frac{4}{5} ar^3 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} r-1 & = -\frac{4}{5} ar^3 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \\ r-1 & = -\frac{4}{5} \times \frac{5}{8r^2(1 - r)} \times r^3 \\ r-1 & = - \frac{1}{2(1 - r)} r \\ (r-1) \times 2(1 - r) & = -r \\ -2r^2 + 4r - 2 & = -r \\ 2r^2 - 5r + 2 & = 0 \\ (2r-1)(r-2) & = 0 \\ r = \frac{1}{2} \vee r & = 2 \end{align} $
Karena syarat $ 0 < r \leq 1 $ , maka $ r = \frac{1}{2} \, $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $(r-1)^2 $ :
$(r-1)^2 = (\frac{1}{2} -1)^2 =(-\frac{1}{2} )^2 = \frac{1}{4} $
Jadi, nilai $ (r-1)^2 = \frac{1}{4} . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar