Kode 381 Pembahasan Turunan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ p $ merupakan bilangan rasional sehingga fungsi $ f(x) = (x-1)^2(3-x^2) \, $ mencapai minimum di $ x = p \, $ , maka $ f(p+1) = .... $
A). $-1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 16 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Turunan
*). Nilai maksimum atau minimum
Fungsi $ f(x) \, $ minimum/maksimum pada saat $ x \, $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
*). Turunan perkalian fungsi :
$ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime.V + U.V^\prime $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsinya
$\begin{align} f(x) & = (x-1)^2(3-x^2) \\ f^\prime (x) & = U^\prime.V + U.V^\prime \\ f^\prime (x) & =2(x-1).(3-x^2) + (x-1)^2.(-2x) \\ & =(x-1)[2(3-x^2) + (x-1).(-2x)] \\ & =(x-1)[6 - 2x^2 + (-2x^2 + 2x)] \\ & =(x-1)[-4x^2 + 2x + 6] \\ & =(x-1).(-2)[2x^2 - x - 3] \\ & =(x-1).(-2).(2x-3)(x+1) \\ & =-2(x-1)(2x-3)(x+1) \end{align} $
*). Syarat nilai minimum/maksimum :
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ -2(x-1)(2x-3)(x+1) & = 0 \\ x = 1 , \, x = \frac{3}{2} , \, x & = -1 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x \, $ yang menyebabkan minimum :
Fungsi $ f(x) = (x-1)^2(3-x^2) $
$\begin{align} x = 1 \rightarrow f(1) & = (1-1)^2(3-1^2) = 0 \\ x = \frac{3}{2} \rightarrow f(\frac{3}{2}) & = (\frac{3}{2}-1)^2(3-(\frac{3}{2})^2) = \frac{3}{16} \\ x = -1\rightarrow f(-1) & = (-1-1)^2(3-(-1)^2) = 8 \end{align} $
Artinya $ f(x) \, $ minimum pada saat $ x = 1 $,
Sehingga $ x = p \, $ dengan $ p = 1 $.
*). Menentukan nilai $ f(p+1) \, $ dengan $ p = 1 $ :
$\begin{align} f(p+1) & = f(1+1) = f(2) \\ & = (2-1)^2(3-2^2) \\ & = 1. (-1) \\ & = -1 \end{align} $
Jadi, nilai $ f(p+1) = -1 . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar