Kode 381 Pembahasan Peluang Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Banyaknya bilangan bulat positif lima angka, dengan angka pertama 1 dan terdapat tepat tiga angka sama adalah ....
A). $ 810 \, $ B). $ 720 \, $ C). $ 120 \, $ D). $ 60 \, $ E). $ 20 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Peluang
*). Penyusunan beberapa unsur berbeda menggunakan permutasi berulang.
Contoh :
total susunan dari angka 23347 jika diacak yaitu $ \frac{5!}{2!} $
Keterangan : total ada 5 angka (2,3,3,4,7) dan ada 2 yang sama (3 dan 3).
*). Pemilihan beberapa unsur dengan urutan tidak diperhatikan, menggunakan kombinasi dengan rumus : $ C_r^n = \frac{n!}{(n-r)!.r!} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Terdapat tepat tiga angka yang sama, artinya dua bilangan lain harus berbeda dari lima angka yang terbentuk.
*). Pilihan angka setiap digit ada 10 pilingan angka yaitu {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Kita bagi menjadi dua kasus :
i). Kasus pertama : yang sama angka 1.
 

-). Proses pengacakan 4 kotak/digit terakhir ada
$ \frac{4!}{2!} = 12 \, $ cara.
-). Nilai $ a \, $ dan $ b \, $ tidak boleh angka 1 dan berbeda yang bisa dipilih dari angka-angaka {0,2,3,4,5,6,7,8,9}.
banyak cara pemilihannya = $ C_2^9 = 36 \, $ cara .
Sehingga total cara kemungkinan pertama :
Cara I = $ 12 \times 36 = 432 \, $ cara.

ii). Kasus kedua : yang sama bukan angka 1,
 

-). Proses pengacakan 4 kotak/digit terakhir ada
$ \frac{4!}{3!} = 4 \, $ cara.
-). Nilai $ a \, $ ada 9 pilihan selain angka 1.
-). Nilai $ b \, $ ada 8 pilihan selain 1 dan $ a $.
Sehingga total cara kemungkinan pertama :
Cara II = $ 4 \times 9 \times 8 = 288 \, $ cara.

*). Total kemungkinan banyaknya angka yang terbentuk :
Total = cara I + cara II = 432 + 288 = 720 angka.
Jadi, ada 720 bilangan yang terbentuk.$ \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar