Kode 371 Pembahasan Fungsi Komposisi Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan fungsi f dan g dengan $ f (x-2) = 3x^2 - 16x + 26 \, $ dan $ g(x) = ax - 1$. Jika $( f \circ g)(3) = 61, $ maka nilai $a$ yang memenuhi adalah ....
A). $ -2 \, $ B). $ \frac{8}{9} \, $ C). $ \frac{9}{8} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Fungsi Komposisi
*). Definisi fungsi komposisi dua fungsi :
$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $
*). Untuk menentukan fungsi $ f(x) \, $ dari $ f(g(x))$, kita misalkan dengan $ p = g(x)$

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menetukan fungsi $ f(x) \, $ dari $ f(x-2) $.
Misalkan $ p = x -2 \, $ maka $ x = p+ 2 $.
Kita substitusikan ke bentuk fungsi $ f(x - 2 ) $ :
$ \begin{align} f (x-2) & = 3x^2 - 16x + 26 \\ f (p) & = 3(p+2)^2 - 16(p+2) + 26 \\ & = 3(p^2 + 4p + 4) - 16p - 32 + 26 \\ & = 3p^2 + 12p + 12 - 16p - 32 + 26 \\ f(p) & = 3p^2 -4p + 6 \end{align} $
Sehingga $ f(x) = 3x^2 - 4x + 6 $.
*). Dari fungsi $ g(x) = ax - 1 $ ,
maka $ g(3) = 3a - 1 $.
Sehingga bentuk $ ( f \circ g)(3) \, $ yaitu :
$ \begin{align} ( f \circ g)(3) & = f(g(3)) \\ & = f(3a - 1) \\ & = 3(3a - 1)^2 - 4(3a - 1) + 6 \\ & = 3(9a^2 - 6a + 1) - 12a + 4 + 6 \\ & = 27a^2 - 18a + 3 - 12a + 4 + 6 \\ & = 27a^2 - 30a + 13 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a \, $ dari komposisinya :
$ \begin{align} ( f \circ g)(3) & = 61 \\ 27a^2 - 30a + 13 & = 61 \\ 27a^2 - 30a + 13 - 61 & = 0 \\ 27a^2 - 30a - 48 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ 9a^2 - 10a - 16 & = 0 \\ (9a+8)(a-2) & = 0 \\ a = -\frac{8}{9} \vee a & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 2 \, $ yang ada dipilihan . $\, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar