Cara 2 : Kode 245 Pembahasan Integral SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f(x) = f(x+2) $ untuk setiap $ x $. Jika $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $, maka $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = .... $
A). $ B \, $ B). $ 2B \, $ C). $ 3B \, $ D). $ 4B \, $ E). $ 5B $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Integral dan persamaan Rekurensi
*). hasil integral : $ \int a^x \, dx = a^x + c $
*). Konsep dasar persamaan rekurensi
Misalkan ada persamaan rekurensi homogen :
$ f(x + n) + f(x + n-1) + ....+ f(x+1) + f(x) = 0 $ ,
maka fungsi $ f(x) $ yang memenuhi adalah $ f(x) = a_1(r_1)^x + a_2(r_2)^x + ...+a_n(r_n)^x $
dengan $ r_1, r_2, ..., r_n \, $ adalah akar-akar dari persamaan :
$ r^n + r^{n-1} + ...+r^1 + r^0 = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan persamaan rekurensinya untuk menentukan fungsi $ f(x) $ :
$\begin{align} f(x) & = f(x+2) \\ f(x+2) - f(x) & = 0 \\ r^2 - r^0 & = 0 \\ r^2 - 1 & = 0 \\ r^2 & = 1 \\ r & = \pm 1 \\ r_1 = -1 \vee r_2 & = 1 \end{align} $
sehingga fungsi $ f(x) $ nya adalah :
$ f(x) = a_1 (r_1)^x + a_2(r_2)^x \rightarrow f(x) = a_1 (-1)^x + a_2(1)^x $
atau disederhanakan : $ f(x) = a_1 (-1)^x + a_2 $
*). Dari bentuk $ f(x) = a_1 (-1)^x + a_2 $, kita tentukan $ f(x+8) $
$\begin{align} f(x) & = a_1 (-1)^x + a_2 \\ f (x+8) & = a_1 (-1)^{x+8} + a_2 \\ & = a_1 (-1)^{x}. (-1)^8 + a_2 \\ & = a_1 (-1)^{x}. 1 + a_2 \\ & = a_1 (-1)^{x} + a_2 \end{align} $
*). Dari bentuk : $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $
$\begin{align} \int \limits_0^2 f(x) \, dx & = B \\ \int \limits_0^2 [a_1 (-1)^x + a_2] \, dx & = B \\ [a_1 (-1)^x + a_2x]_0^2 & = B \\ [a_1 (-1)^2 + a_2.2] - [a_1 (-1)^0 + a_2.0] & = B \\ [a_1 + 2a_2 ] - [a_1 + 0] & = B \\ 2a_2 & = B \\ a_2 & = \frac{1}{2}B \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx & = \int \limits_3^7 [a_1 (-1)^{x} + a_2] \, dx \\ & = [a_1 (-1)^{x} + a_2x]_3^7 \\ & = [a_1 (-1)^{7} + a_2.7]- [a_1 (-1)^{3} + a_2.3] \\ & = [a_1 (-1) + 7a_2]- [a_1 (-1) + 3a_2] \\ & = 4a_2 \\ & = 4 . \frac{1}{2}B \\ & = 2B \end{align} $
Jadi, kita peroleh hasil $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = 2B. \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar