Kode 245 Pembahasan Integral SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f(x) = f(x+2) $ untuk setiap $ x $. Jika $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $, maka $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = .... $
A). $ B \, $ B). $ 2B \, $ C). $ 3B \, $ D). $ 4B \, $ E). $ 5B $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Integral
*). Sifat Integral :
$ \int \limits_a^c f(x) \, dx = \int \limits_a^b f(x) \, dx + \int \limits_b^c f(x) \, dx $
dengan $ a < b < c $.
*). Jika suatu fungsi diketahui memenuhi $ f(x) = f(x + 2) $ ,
maka berlaku juga untuk $ f(x) = f(x+2) = f(x+4) = f(x+6) = f(x+8) $ dan seterusnya.
*). Jika $ f(x) = f(x+2) \, $ dan $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B \, $ , maka berlaku juga untuk integral yang batasnya berselisih dua yang hasilnya sama dengan B, atau kita peroleh :
$ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = \int \limits_1^3 f(x) \, dx =\int \limits_2^4 f(x) \, dx = \int \limits_3^5 f(x) \, dx $ dan seterusnya.

Catatan :
Pernyataan pada konsep dasar ini akan kita buktikan, dan pembuktiannya ada pada bagian paling bawah.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dari konsep dasar di atas, kita peroleh bentuk $ f(x + 8 ) = f(x) $
dan juga kita peroleh : $ \int \limits_3^5 f(x) \, dx = \int \limits_5^7 f(x) \, dx = B $
*). Menyelesaikan soalnya
$\begin{align} \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx & = \int \limits_3^7 f(x) \, dx \\ & = \int \limits_3^5 f(x) \, dx + \int \limits_5^7 f(x) \, dx \\ & = B + B \\ & = 2B \end{align} $
Jadi, kita peroleh hasil $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = 2B. \, \heartsuit $


$\spadesuit $ Pembuktian Konsep Dasar di atas
*). Pernyataan Pertama : Jika suatu fungsi diketahui memenuhi $ f(x) = f(x + 2) $ ,
maka berlaku juga untuk $ f(x) = f(x+2) = f(x+4) = f(x+6) = f(x+8) $ dan seterusnya.
Pembuktian :
Dari bentuk $ f(x) = f(x + 2) $, kita ganti $ x $ dengan beberapa kemungkinan yaitu :
$ x = p \rightarrow f(p) = f(p+2) $
$ x = p+2 \rightarrow f(p+2) = f((p+2)+2) \rightarrow f(p+2) = f(p+4) $
$ x = p+4 \rightarrow f(p+4) = f((p+4)+2) \rightarrow f(p+4) = f(p+6) $
$ x = p+6 \rightarrow f(p+6) = f((p+6)+2) \rightarrow f(p+6) = f(p+8) $
sehingga dapat kita simpulkan bahwa :
$ f(p) =f(p+2)=f(p+4)=f(p+6)=f(p+8) \, $ dan seterusnya .

*). Pernyataan Kedua : Jika $ f(x) = f(x+2) \, $ dan $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B \, $ , maka berlaku juga untuk integral yang batasnya berselisih dua yang hasilnya sama dengan B, atau kita peroleh :
$ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = \int \limits_1^3 f(x) \, dx =\int \limits_2^4 f(x) \, dx = \int \limits_3^5 f(x) \, dx $ dan seterusnya.
Pembuktian :
-). Misalkan hasil integral dari fungsi $ f(x) $ adalah $ g(x) $, sehingga :
$ \int \limits_a^b f(x) \, dx = [g(x)]_a^b = g(b) - g(a) $
-). dari bentuk $ f(x) = f(x + 2) $, kita substitusi $ x $ dengan $ x + 1 $, kita peroleh :
$ f(x) = f(x+2) \rightarrow f(x+1) = f((x+1)+2) \rightarrow f(x + 1) = f( x+ 3) $.
-). Kita interalkan bentuk $ f(x) = f(x + 2) $ dan bentuk $ f(x+1) = f(x + 3) $ :
$ \begin{align} \text{pertama : } \, f(x) & = f(x+2) \\ \int f(x) & = \int f(x+2) \\ g(x) & = g (x+2) + c \\ \text{kedua : } \, f(x+1) & = f(x+3) \\ \int f(x+1) & = \int f(x+3) \\ g(x+1) & = g (x+3) + c \end{align} $
Catatan : nilai $ c $ sama karena fungsinya sama yaitu dari $ f(x) = f(x+2) $.
-). kita kurangkan kedua bentuk hasil integral di atas, kita peroleh :
$ g(x) - g(x+1) = g(x+2) - g(x+3) \rightarrow g(x+3) - g(x+1) = g(x+2) - g(x) $
-). Dari bentuk $ g(x+3) - g(x+1) = g(x+2) - g(x) $ , kita substitusikan beberapa nilai $ x $ dengan angka tertentu :
$ x = 0 \rightarrow g(3) - g(1) = g(2) - g(0) $
$ x = 1 \rightarrow g(4) - g(2) = g(3) - g(1) $
$ x = 2 \rightarrow g(5) - g(3) = g(4) - g(2) $
$ x = 3 \rightarrow g(6) - g(4) = g(5) - g(3) $
$ x = 4 \rightarrow g(7) - g(5) = g(6) - g(4) $
dan seterusnya .......
Artinya kita peroleh :
$ g(2) - g(0) = g(3) - g(1) = g(4) - g(2) = g(5) - g(3) = g(6) - g(4) = g(7) - g(5) $ dan seterusnya.
-). Dari bentuk $ \int \limits_a^b f(x) \, dx = [g(x)]_a^b = g(b) - g(a) $ atau $ g(b) - g(a) = \int \limits_a^b f(x) \, dx $ , kita simpulkan :
bentuk $ g(2) - g(0) = g(3) - g(1) = g(4) - g(2) = g(5) - g(3) = g(6) - g(4) = g(7) - g(5) $ dan seterusnya.
sama saja dengan :
$ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = \int \limits_1^3 f(x) \, dx = \int \limits_2^4 f(x) \, dx = \int \limits_3^5 f(x) \, dx = \int \limits_4^6 f(x) \, dx = \int \limits_5^7 f(x) \, dx $ dan seterusnya.



4 komentar:

  1. Pak Putu..blognya sangat bermanfaat. saya mau bertanya,kalau buat blog yang bisa buat rumus-rumus begitu. Caranya bagaimana ya? Terima kasih :)

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @anonim.

      Terima kasih untuk kunjungan ke blog sederhana ini.

      Untuk bisa menampilkan rumus-rumus atau disebut equation, saya menggunakan bahasa LATEX. Coba dech browsing di google, pasti banyak tutorialnya, dan saya juga belajarnya dari browsing di mbah google.

      Semoga cepat berhasil dan bisa membuat sebuah blog dan bisa menampilkan rumus-rumusnya dengan baik.

      Semangad.

      Hapus
  2. makasih bnyak kak putu,website ini jd bahan saya untuk persiapan SBMPTN,inshaaloh STEI ITB 2018

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @hafiz

      Amin, semoga cita2nya tercapai.

      Terima kasih untuk kunjungannya ke blog dunia informa ini.

      Semoga terus bisa bermanfaat.

      Hapus