Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f(x) = f(x+2) $ untuk setiap $ x $.
Jika $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $, maka
$ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = .... $
A). $ B \, $ B). $ 2B \, $ C). $ 3B \, $ D). $ 4B \, $ E). $ 5B $
A). $ B \, $ B). $ 2B \, $ C). $ 3B \, $ D). $ 4B \, $ E). $ 5B $
$\spadesuit $ Konsep Dasar Integral
*). Sifat-sifat integral :
i). Batas integral bisa dipecah menjadi beberapa bagian :
-). $ \int \limits_a^c f(x) \, dx = \int \limits_a^b f(x) \, dx + \int \limits_b^c f(x) \, dx $
dengan $ a < b < c $.
-). $ \int \limits_a^d f(x) \, dx = \int \limits_a^b f(x) \, dx +\int \limits_b^c f(x) \, dx+\int \limits_c^d f(x) \, dx$
dengan $ a < b < c < d $
ii). Batas integral bisa diperkecil nilainya :
$ \int \limits_a^b f(x) \, dx = \int \limits_{a-k}^{b-k} f(x + k) \, dx $
(semua batas dikurangkan $ k $ dan variabel fungsinya ditambahkan $ k$).
*). Jika suatu fungsi diketahui memenuhi $ f(x) = f(x + 2) $ ,
maka berlaku juga untuk $ f(x) = f(x+2) = f(x+4) = f(x+6) = f(x+8) $ dan seterusnya.
Pembuktian :
Dari bentuk $ f(x) = f(x + 2) $, kita ganti $ x $ dengan beberapa kemungkinan yaitu :
$ x = p \rightarrow f(p) = f(p+2) $
$ x = p+2 \rightarrow f(p+2) = f((p+2)+2) \rightarrow f(p+2) = f(p+4) $
$ x = p+4 \rightarrow f(p+4) = f((p+4)+2) \rightarrow f(p+4) = f(p+6) $
$ x = p+6 \rightarrow f(p+6) = f((p+6)+2) \rightarrow f(p+6) = f(p+8) $
sehingga dapat kita simpulkan bahwa :
$ f(p) =f(p+2)=f(p+4)=f(p+6)=f(p+8) \, $ dan seterusnya, atau dapat ditulis $ f(x) = f(x+2) = f(x+4) = f(x+6) = f(x+8) $ dan seterusnya.
*). Sifat-sifat integral :
i). Batas integral bisa dipecah menjadi beberapa bagian :
-). $ \int \limits_a^c f(x) \, dx = \int \limits_a^b f(x) \, dx + \int \limits_b^c f(x) \, dx $
dengan $ a < b < c $.
-). $ \int \limits_a^d f(x) \, dx = \int \limits_a^b f(x) \, dx +\int \limits_b^c f(x) \, dx+\int \limits_c^d f(x) \, dx$
dengan $ a < b < c < d $
ii). Batas integral bisa diperkecil nilainya :
$ \int \limits_a^b f(x) \, dx = \int \limits_{a-k}^{b-k} f(x + k) \, dx $
(semua batas dikurangkan $ k $ dan variabel fungsinya ditambahkan $ k$).
*). Jika suatu fungsi diketahui memenuhi $ f(x) = f(x + 2) $ ,
maka berlaku juga untuk $ f(x) = f(x+2) = f(x+4) = f(x+6) = f(x+8) $ dan seterusnya.
Pembuktian :
Dari bentuk $ f(x) = f(x + 2) $, kita ganti $ x $ dengan beberapa kemungkinan yaitu :
$ x = p \rightarrow f(p) = f(p+2) $
$ x = p+2 \rightarrow f(p+2) = f((p+2)+2) \rightarrow f(p+2) = f(p+4) $
$ x = p+4 \rightarrow f(p+4) = f((p+4)+2) \rightarrow f(p+4) = f(p+6) $
$ x = p+6 \rightarrow f(p+6) = f((p+6)+2) \rightarrow f(p+6) = f(p+8) $
sehingga dapat kita simpulkan bahwa :
$ f(p) =f(p+2)=f(p+4)=f(p+6)=f(p+8) \, $ dan seterusnya, atau dapat ditulis $ f(x) = f(x+2) = f(x+4) = f(x+6) = f(x+8) $ dan seterusnya.
$\clubsuit $ Pembahasan Cara 3 :
*). Meneyelesaikan soal dengan menggunakan $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $, dan $ f(x) = f(x+2) = f(x+4) = f(x+6) $ serta sifat-sifat integral di atas :
$\begin{align} \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx & = \int \limits_3^7 f(x) \, dx \\ & = \int \limits_3^4 f(x) \, dx + \int \limits_4^6 f(x) \, dx + \int \limits_6^7 f(x) \, dx \\ & = \int \limits_{3-2}^{4-2} f(x+2) \, dx + \int \limits_{4-4}^{6-4} f(x+4) \, dx + \int \limits_{6-6}^{7-6} f(x+6) \, dx \\ & = \int \limits_{1}^{2} f(x+2) \, dx + \int \limits_{0}^{2} f(x+4) \, dx + \int \limits_{0}^{1} f(x+6) \, dx \\ & = \int \limits_{1}^{2} f(x) \, dx + \int \limits_{0}^{2} f(x) \, dx + \int \limits_{0}^{1} f(x) \, dx \\ & = \left( \int \limits_{0}^{1} f(x) \, dx + \int \limits_{1}^{2} f(x) \, dx \right) + \int \limits_{0}^{2} f(x) \, dx \\ & = \int \limits_{0}^{2} f(x) \, dx + \int \limits_{0}^{2} f(x) \, dx \\ & = 2. \left( \int \limits_{0}^{2} f(x) \, dx \right) \\ & = 2B \end{align} $
Jadi, kita peroleh hasil $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = 2B. \, \heartsuit $
*). Meneyelesaikan soal dengan menggunakan $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $, dan $ f(x) = f(x+2) = f(x+4) = f(x+6) $ serta sifat-sifat integral di atas :
$\begin{align} \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx & = \int \limits_3^7 f(x) \, dx \\ & = \int \limits_3^4 f(x) \, dx + \int \limits_4^6 f(x) \, dx + \int \limits_6^7 f(x) \, dx \\ & = \int \limits_{3-2}^{4-2} f(x+2) \, dx + \int \limits_{4-4}^{6-4} f(x+4) \, dx + \int \limits_{6-6}^{7-6} f(x+6) \, dx \\ & = \int \limits_{1}^{2} f(x+2) \, dx + \int \limits_{0}^{2} f(x+4) \, dx + \int \limits_{0}^{1} f(x+6) \, dx \\ & = \int \limits_{1}^{2} f(x) \, dx + \int \limits_{0}^{2} f(x) \, dx + \int \limits_{0}^{1} f(x) \, dx \\ & = \left( \int \limits_{0}^{1} f(x) \, dx + \int \limits_{1}^{2} f(x) \, dx \right) + \int \limits_{0}^{2} f(x) \, dx \\ & = \int \limits_{0}^{2} f(x) \, dx + \int \limits_{0}^{2} f(x) \, dx \\ & = 2. \left( \int \limits_{0}^{2} f(x) \, dx \right) \\ & = 2B \end{align} $
Jadi, kita peroleh hasil $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = 2B. \, \heartsuit $
kak apakah untuk mengerjakan soal seperti ini dapat menggunakan teknik diatas ?, mohon bantuannya
BalasHapussoal : ∫ (a samapai 7a) f(x)ⅆx=P maka ∫ (a sampai 2a ) f(2x+3a)ⅆx=...?
Hallow #Rizaldy,
Hapuspada soal SBMPTN 2016 di atas terdapat fungsi $ f(x) = f(x+2) $, apakah di soal yang #Rizaldy tanyakan ada hubungan fungsi seperti itu?
atau memang soalnya hanya seperti yang sudah di tuliskan di atas?