2009 Cara 2 : Pembahasan Persamaan Eksponen UTUL UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah penyelesaian persamaan $ \left(\frac{4}{9}\right)^{x^2-3}\left(\frac{8}{27}\right)^{1-x} = \frac{3}{2} $ , maka $ (x_1-x_2)^2 = .... $
A). $ \frac{9}{4} \, $ B). $ \frac{25}{4} \, $ C). $ \frac{41}{4} \, $ D). $ \frac{25}{2} \, $ E). $ 25 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Eksponen
*). Sifat-sifat Eksponen :
$ a^m.a^n = a^{m+n} \, $ dan $ (a^m)^n = a^{m.n} $
$ a^{-n} = \frac{1}{a^m} \, $ sehingga $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $.
*). Operasi Selisih akar-akar persamaan Kuadrat :
$ ax^2 + bx + c = 0 \, $ akar-akarnya $ x_1 $ dan $ x_2 $,
maka $ x_1-x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} \, $ dengan $ D=b^2 - 4ac $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 : Operasi akar-akar Persaman Kuadrat
*). Menyederhanakan soal :
$\begin{align} \left(\frac{4}{9}\right)^{x^2-3}\left(\frac{8}{27}\right)^{1-x} & = \frac{3}{2} \\ \left([\frac{2}{3}]^2\right)^{x^2-3}\left([\frac{2}{3}]^3\right)^{1-x} & = (\frac{2}{3})^{-1} \\ \left(\frac{2}{3} \right)^{2x^2-6}\left(\frac{2}{3} \right)^{3-3x} & = (\frac{2}{3})^{-1} \\ \left(\frac{2}{3} \right)^{(2x^2-6)+(3-3x)} & = (\frac{2}{3})^{-1} \\ \left(\frac{2}{3} \right)^{2x^2 - 3x - 3} & = (\frac{2}{3})^{-1} \\ 2x^2 - 3x - 3 & = -1 \\ 2x^2 - 3x - 2 & = 0 \\ a = 2 , b = -3 , c & = -2 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ (x_1-x_2)^2 $ :
$ \begin{align} (x_1-x_2)^2 & = \left( \frac{\sqrt{D}}{a} \right)^2 \\ & = \frac{D}{a^2} = \frac{b^2-4ac}{a^2} \\ & = \frac{(-3)^2 - 4.2.(-2)}{2^2} \\ & = \frac{9+16}{4} = \frac{25}{4} \end{align} $ .
Jadi, nilai $ = (x_1-x_2)^2 = \frac{25}{4} . \, \heartsuit $

Catatan :
Operasi akar-akar ini kita gunakan terutama jika persamaan kuadratnya tidak bisa difaktorkan.



Tidak ada komentar:

Posting Komentar