2009 Pembahasan Persamaan Eksponen UTUL UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah penyelesaian persamaan $ \left(\frac{4}{9}\right)^{x^2-3}\left(\frac{8}{27}\right)^{1-x} = \frac{3}{2} $ , maka $ (x_1-x_2)^2 = .... $
A). $ \frac{9}{4} \, $ B). $ \frac{25}{4} \, $ C). $ \frac{41}{4} \, $ D). $ \frac{25}{2} \, $ E). $ 25 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Eksponen
*). Sifat-sifat Eksponen :
$ a^m.a^n = a^{m+n} \, $ dan $ (a^m)^n = a^{m.n} $
$ a^{-n} = \frac{1}{a^m} \, $ sehingga $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan soal dan memfaktorkan :
$\begin{align} \left(\frac{4}{9}\right)^{x^2-3}\left(\frac{8}{27}\right)^{1-x} & = \frac{3}{2} \\ \left([\frac{2}{3}]^2\right)^{x^2-3}\left([\frac{2}{3}]^3\right)^{1-x} & = (\frac{2}{3})^{-1} \\ \left(\frac{2}{3} \right)^{2x^2-6}\left(\frac{2}{3} \right)^{3-3x} & = (\frac{2}{3})^{-1} \\ \left(\frac{2}{3} \right)^{(2x^2-6)+(3-3x)} & = (\frac{2}{3})^{-1} \\ \left(\frac{2}{3} \right)^{2x^2 - 3x - 3} & = (\frac{2}{3})^{-1} \\ 2x^2 - 3x - 3 & = -1 \\ 2x^2 - 3x - 2 & = 0 \\ (2x + 1)(x-2) & = 0 \\ x = -\frac{1}{2} \vee x & = 2 \end{align} $
Misalkan kita pilih $ x_1 = 2 $ dan $ x_2 = -\frac{1}{2} $ .
*). Menentukan nilai $ (x_1-x_2)^2 $ :
$ \begin{align} (x_1-x_2)^2 & = \left( 2 - (-\frac{1}{2}) \right)^2 \\ & = \left( 2+\frac{1}{2} \right)^2 \\ & = \left( \frac{5}{2} \right)^2 \\ & = \frac{25}{4} \end{align} $ .
Jadi, nilai $ = (x_1-x_2)^2 = \frac{25}{4} . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar