Cara 2 : Kode 252 Pembahasan Lingkaran SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Titik $(0,b)$ adalah titik potong garis singgung persekutuan luar lingkaran $ x^2 + y^2 = 16 $ dan $ (x-8)^2 + (y-8)^2 = 16 \, $ dengan sumbu-$y$. Nilai $ b $ adalah .....
A). $ 4\sqrt{2} \, $ B). $ 3\sqrt{2} \, $ C). $ 2\sqrt{2} \, $ D). $ 2\sqrt{3} \, $ E). $ \sqrt{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Berkaitan Lingkaran
*). Pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran :
$ x^2 + y^2 = r^2 \rightarrow \, $ Pusat $(0,0)$ dan jari-jari $ = r $
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \rightarrow \, $ Pusat $(a,b)$ dan jari-jari $ = r $
*). Persamaan garis singgung lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 $ di titik $(x_1,y_1)$ :
$ x_1.x + y_1.y = r^2 $
*). Dua garis tegak lurus, perkalian kedua gradiennya $ -1 $
*). Persamaan garis lurus melalui titik $(x_1,y_1) $ dengan gradien $ m $ :
$ y - y_1 = m(x-x_1) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar
 

*). Gradien garis AB :
$ m_{AB} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{8-0}{8-0} = 1 $
Garis AC dan AB tegak lurus, sehingga
$ m_{AC} . m_{AB} = -1 \rightarrow m_{AC} . 1 = -1 \rightarrow m_{AC} = -1 $
*). Menentukan persamaan garis AC melalui titik $(x_1,y_1)=(0,0) $ dan $ m = -1 $ :
$\begin{align} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-0 & = -1(x-0) \\ y & = -x \end{align} $
*). Menentukan titik potong garis AC dengan lingkaran $x^2 + y^2 = 16 $ :
$\begin{align} y = -x \rightarrow x^2 + y^2 & = 16 \\ x^2 + (-x)^2 & = 16 \\ x^2 + x^2 & = 16 \\ 2x^2 & = 16 \\ x^2 & = 8 \\ x & = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2} \end{align} $
Titik C nilai $ x $ nya negatif, sehingga kita pilih $ x = -2\sqrt{2} $
Nilai $ y = -x = - (-2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} $
Artinya titik $ C(-2\sqrt{2} , 2\sqrt{2}) $.
*). Menentukan persamaan garis singgung lingkaran $ x^2+y^2 = 16 $ di $ C(-2\sqrt{2} , 2\sqrt{2}) $ :
$\begin{align} x_1.x+y_1.y & = 16 \\ -2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y & = 16 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi } 2\sqrt{2} ) \\ - x+ y & = \frac{16}{2\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \\ y & = x + 4\sqrt{2} \end{align} $
persamaan garis singgungnya adalah $ y = x + 4\sqrt{2} $.
*). Titik potong garis singgung di sumbu $ Y $ di titik $(0,b)$, kita substitusi titik tersebut ke persamaan garis singgungnya :
$\begin{align} (x,y)=(0,b) \rightarrow y & = x + 4\sqrt{2} \\ b & = 0 + 4\sqrt{2} \\ b & = 4\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, nilai $ b = 4\sqrt{2} . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar