Kode 252 Pembahasan Lingkaran SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Titik $(0,b)$ adalah titik potong garis singgung persekutuan luar lingkaran $ x^2 + y^2 = 16 $ dan $ (x-8)^2 + (y-8)^2 = 16 \, $ dengan sumbu-$y$. Nilai $ b $ adalah .....
A). $ 4\sqrt{2} \, $ B). $ 3\sqrt{2} \, $ C). $ 2\sqrt{2} \, $ D). $ 2\sqrt{3} \, $ E). $ \sqrt{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Berkaitan Lingkaran
*). Pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran :
$ x^2 + y^2 = r^2 \rightarrow \, $ Pusat $(0,0)$ dan jari-jari $ = r $
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \rightarrow \, $ Pusat $(a,b)$ dan jari-jari $ = r $
*). Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien $ m $ :
$ y - b = m(x-a) \pm r\sqrt{1+m^2} $
*). Dua garis sejajar memiliki gradien sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar
 

*). Gradien garis AB :
$ m_{AB} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{8-0}{8-0} = 1 $
Garis singgung lingkaran sejajar dengan garis AB, sehingga gradiennya sama yaitu $ m = 1 $.
*). Menentukan persamaan garis singgung lingkaran $ x^2+y^2 = 16 $ dengan $ m = 1 $ :
Pusat lingkaran $(a,b)=(0,0) $ dan $ r^2 = 16 \rightarrow r = 4 $
$\begin{align} y - b & = m(x-a) \pm r\sqrt{1+m^2} \\ y - 0 & = 1.(x-0) \pm 4\sqrt{1+1^2} \\ y & = x \pm 4\sqrt{2} \end{align} $
yang kita pakai adalah garis singgung atas karena yang memotong sumbu Y positif, sehingga persamaan garis singgungnya adalah $ y = x + 4\sqrt{2} $.
*). Titik potong garis singgung di sumbu $ Y $ di titik $(0,b)$, kita substitusi titik tersebut ke persamaan garis singgungnya :
$\begin{align} (x,y)=(0,b) \rightarrow y & = x + 4\sqrt{2} \\ b & = 0 + 4\sqrt{2} \\ b & = 4\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, nilai $ b = 4\sqrt{2} . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar