Pembahasan Vektor SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 165

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui vektor-vektor $ \vec{a} , \, \vec{b} , \, $ dan $ \vec{ c} $ dengan $ \vec{b} = (-2, \, 1) , \, \vec{b} \bot \vec{c} , \, $ dan $ \vec{a}-\vec{b}-\vec{c}=0$. Jika $|\vec{a}| = 5 $ dan sudut antara $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ adlah $ \alpha $ , maka luas segitiga yang dibentuk ujung-ujung vektor $ \vec{a} , \vec{b}, $ dan $\vec{c} $ adalah ....
A). $ 5\sqrt{5} \, $ B). $ \frac{\sqrt{5}}{2} \, $ C). $ \frac{2}{\sqrt{5}} \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 10 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Vektor $ \vec{u} $ tegak lurus $ \vec{v} $ maka $ \vec{u}.\vec{v}= 0 $.
*). Panjang vektor $ \vec{u} = (x , y) $ yaitu :
Panjang $ \vec{u} = |\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2} $
*). Rumus panjang penjumlahan dua vektor :
$ |\vec{u}+\vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2\vec{u}.\vec{v} $
*). Perkalian dot dua vektor yang sama menghasilkan panjang.
$ \vec{P}.\vec{P} = (\vec{P})^2 = |\vec{P}|^2 $
*). Luas segitiga : Luas $ = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} $
*). Hasil Penjumlahan $ \vec{u}+\vec{v} = \vec{r} $ secara geometri adalah :

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan panjang vektor $ \vec{b} = (-2,1) $ :
$ |\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 } = \sqrt{5} $
*). Karena $ \vec{b} $ tegak lurus $ \vec{c} $ maka $ \vec{b}.\vec{c} = 0 $.
*). Menentukan panjang vektor $ \vec{c} $ :
$\begin{align} \vec{a}-\vec{b}-\vec{c} & = 0 \\ \vec{a} & = \vec{b} + \vec{c} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\vec{a})^2 & = (\vec{b} + \vec{c})^2 \\ |\vec{a}|^2 & = |\vec{b} + \vec{c}|^2 \\ |\vec{a}|^2 & = |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2\vec{b}.\vec{c} \\ 5^2 & = (\sqrt{5})^2 + |\vec{c}|^2 + 2 \times 0 \\ 25 & = 5 + |\vec{c}|^2 + 0 \\ |\vec{c}|^2 & = 20 \\ |\vec{c}| & = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \end{align} $
*). Ilustrasi gambar :
$ \vec{b} $ tegak lurus $ \vec{c} $ dan $ \vec{a} = \vec{b} + \vec{c} $ sehingga gambar ketiga vektor yaitu :
 

Segitiga yang dibentuk oleh ujung-ujung ketiga vektor adalah segitiga ABC siku-siku di A.
*). Menentukan luas segitiga ABC :
$\begin{align} \text{Luas } \Delta ABC & = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} \\ & = \frac{1}{2} \times AB \times AC \\ & = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{5} \times \sqrt{5} \\ & = \frac{1}{2} \times 10 \\ & = 5 \end{align} $
Jadi, luas segitiganya adalah 5 satuan luas $ . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar