Cara 2 Pembahasan Terapan Turunan UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
DIberikan garis lurus melalui $(0,-2) $ dan $\left( \frac{3}{2} , 0 \right) $. Jarak parabola $ y = x^2 - 1 $ ke garis tersebut adalah ....
A). $ \frac{5}{6} \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{1}{3} \, $ E). $ \frac{1}{6} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Menyusun persamaan garis lurus melalui $(x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2)$ :
$ \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} $
*). Jarak titik $ (x_0,y_0) $ ke garis $ ax+by+c = 0 $
Jarak $ = \left| \frac{a.x_0+b.y_0+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| $
*). Jarak yang dimaksud adalah jarak terpendek (minimum).
*). Gradien garis singgung di titik $(a,b) $ adalah $ m = f^\prime (a) $
*). Gradien garis $ ax + by + c = 0 $ adalah $ m = \frac{-a}{b} $.
*). Jarak garis ke parabola dapat ditentukan dengan :
i). Menentukan titik singgung dimana garis singgungnya sejajar dengan garis lurus yang mau kita cari jaraknya, sehingga gradiennya sama,
ii). Jarak dapat dihitung dari titik singgung ke garis lurusnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan garis lurus melalui titik $ (x_1,y_1) = (0,-2) $ dan $ (x_2,y_2) = (\frac{3}{2} , 0) $ :
$\begin{align} \frac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \frac{y-(-2)}{0-(-2)} & = \frac{x-0}{\frac{3}{2} - 0} \\ \frac{y+2}{2} & = \frac{2x }{3} \\ 3y + 6 & = 4x \\ -4x + 3y + 6 & = 0 \\ m & = \frac{-a}{b} = \frac{-(-4)}{3} = \frac{4}{3} \end{align} $
*). Misalkan titik singgungnya $ (a,b) $, gradiennya :
$ y = x^2 - 1 \rightarrow y^\prime = 2x $
$ m = f^\prime (a) = 2a $.
 

*). Gradien garis singgung sama dengan gradien garis $ -4x + 3y + 6 $ :
$\begin{align} 2a & = \frac{4}{3} \rightarrow a = \frac{2}{3} \end{align} $
$ y = x^2 - 1 \rightarrow b = (\frac{2}{3})^2 - 1 = -\frac{5}{9} $
Artinya titik singgungnya $ (a,b) = (\frac{2}{3} , -\frac{5}{9} ) $.
*). Menentukan jarak titik $(\frac{2}{3} , -\frac{5}{9} ) $ ke garis $ -4x + 3y + 6 = 0 $ :
$\begin{align} \text{Jarak } & = \left| \frac{-4x + 3y + 6}{\sqrt{(-4)^2 + 3^2}} \right| \\ & = \left| \frac{-4.\frac{2}{3} + 3.( -\frac{5}{9} ) + 6}{5} \right| \\ & = \frac{1}{5} \left| -\frac{8}{3} - \frac{5}{3} + 6 \right| \\ & = \frac{1}{5} . \frac{5}{3} = \frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, jaraknya adalah $ \frac{1}{3} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar