Pembahasan Terapan Turunan UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
DIberikan garis lurus melalui $(0,-2) $ dan $\left( \frac{3}{2} , 0 \right) $. Jarak parabola $ y = x^2 - 1 $ ke garis tersebut adalah ....
A). $ \frac{5}{6} \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{1}{3} \, $ E). $ \frac{1}{6} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Menyusun persamaan garis lurus melalui $(x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2)$ :
$ \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} $
*). Jarak titik $ (x_0,y_0) $ ke garis $ ax+by+c = 0 $
Jarak $ = \left| \frac{a.x_0+b.y_0+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| $
*). Jarak yang dimaksud adalah jarak terpendek (minimum).
*). Nilai minimum fungsi $ y = f(x) $ pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan garis lurus melalui titik $ (x_1,y_1) = (0,-2) $ dan $ (x_2,y_2) = (\frac{3}{2} , 0) $ :
$\begin{align} \frac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \frac{y-(-2)}{0-(-2)} & = \frac{x-0}{\frac{3}{2} - 0} \\ \frac{y+2}{2} & = \frac{2x }{3} \\ 3y + 6 & = 4x \\ -4x + 3y + 6 & = 0 \end{align} $
*). Kita tidak bisa langsung mencari jarak garis ke parabola namun kita menghitung jarak titik ke garis, sehingga kita cari titik pada parabola yang posisinya terdekat dengan garis. Misalkan titik tersebut $(a,b) $, karena ada di parabola maka boleh kita substitusi ke parabola :
$ (x,y)=(a,b) \rightarrow y = x^2 - 1 \rightarrow b = a^2 - 1 $.
Artinya titik tersebut menjadi $ (a,b) = (a,a^2 - 1) $.
ilustrasi gambarnya
 

*). Menentukan jarak $(a, a^2 - 1) $ titik ke garis $ -4x + 3y + 6 = 0 $ :
$\begin{align} \text{Jarak } & = \left| \frac{-4x + 3y + 6}{\sqrt{(-4)^2 + 3^2}} \right| \\ f(a) & = \left| \frac{-4.a + 3.(a^2 - 1) + 6}{5} \right| \\ f(a) & = \left| \frac{3a^2 - 4a + 3}{5} \right| \\ f(a) & = \frac{1}{5}(3a^2 - 4a + 3) \\ f^ \prime (a) & = \frac{1}{5}(6a - 4 ) \\ \end{align} $
*). Syarat nilai minimum : Turunan pertama $ = 0 $
$\begin{align} f^ \prime (a) & = 0 \\ \frac{1}{5}(6a - 4 ) & = 0 \\ 6a & = 4 \\ a & = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \end{align} $
*). Menentukan Jarak garis dan parabola saat $ a = \frac{2}{3} $ :
$\begin{align} \text{Jarak } & = f(a) = \frac{1}{5}(3a^2 - 4a + 3) \\ & = \frac{1}{5}(3.(\frac{2}{3})^2 - 4.\frac{2}{3} + 3) \\ & = \frac{1}{5}.( \frac{4}{3} - \frac{8}{3} + \frac{9}{3}) \\ & = \frac{1}{5}.( \frac{5}{3}) = \frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, jaraknya adalah $ \frac{1}{3} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar