Pembahasan Deret dan Turunan UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui suatu deret tak hingga $ \sin 2x \sin ^2x + \sin 2x \sin ^4 x + \sin 2x \sin ^6 x + ...$, $ 0 < x \leq \frac{\pi}{4} $. Nilai maksimum deret tak hingga tersebut adalah ....
A). $ 32 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Deret geometri tak hingga :
$ S_\infty = \frac{a}{1 - r} $
*). Rumus Trigonometri
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow 1 - \sin ^2 x = \cos ^2 x $
$ \sin 2x = 2\sin x \cos x $ dan $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $
*). Turunan fungsi :
$ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U.V^\prime $
*). Fungsi $ y = f(x) $ disebut fungsi naik jika $ f^\prime (x) > 0 $ untuk semua $ x $.
*). Jika fungsi $ y = f(x) $ adalah fungsi naik, maka pada interval $ a \leq x \leq b $ mencapai maksimum di $ x = b $ dan minimum di $ x = a $, sehingga nilai maksimumnya adalah $ f(b) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menghitung deret tak hingganya :
$ \sin 2x \sin ^2x + \sin 2x \sin ^4 x + \sin 2x \sin ^6 x + ...$
$ a = \sin 2x \sin ^2x $ dan $ r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{ \sin 2x \sin ^4 x }{ \sin 2x \sin ^2 x } = \sin ^2 x $
$\begin{align} S_\infty & = \frac{a}{1-r} \\ f(x) & = \frac{\sin 2x \sin ^2x}{1 - \sin ^2 x} \\ & = \frac{2 \sin x \cos x \sin ^2x}{\cos ^2 x} \\ & = \frac{2 \sin x \sin ^2x}{\cos x} \\ & = 2 \sin ^2x . \frac{\sin x }{\cos x} \\ & = 2 \sin ^2x . \tan x = 2(\sin ^2 x . \tan x ) \end{align} $
*). Menentukan turunan fungsinya :
$\begin{align} f(x) & = 2( \sin ^2x . \tan x) = U.V \\ U & = \sin ^2 x \rightarrow U^\prime = 2 \sin x \cos x \\ V & = \tan x \rightarrow V^\prime = \sec ^2 x \\ f^\prime (x) & = U^\prime . V + U.V^\prime \\ & = 2( 2 \sin x \cos x . \tan x + \sin ^2 x . \sec ^2 x ) \\ & = 2( 2 \sin x \cos x . \frac{\sin x}{\cos x} + \sin ^2 x . \sec ^2 x ) \\ & = 2( 2 \sin x \sin x + \sin ^2 x . \sec ^2 x ) \\ & = 2( 2 \sin ^2 x + \sin ^2 x . \sec ^2 x ) \\ \end{align} $
*). Perhatikan hasil turunannya yaitu
$ f^\prime (x) = 2( 2 \sin ^2 x + \sin ^2 x . \sec ^2 x ) > 0 $
(selalu positif) untuk semua nilai $ x $ karena bentuknya kuadrat, sehingga fungsi $ f(x) $ adalah fungsi naik. Artinya pada interval $ 0 < x \leq \frac{\pi}{4} $ akan maksimum di batas atasnya yaitu saat $ x = \frac{\pi}{4} $ .
*). Menentukan nilai maksimumnya saat $ x = \frac{\pi}{4} $ :
$\begin{align} f(x) & = 2( \sin ^2x . \tan x) \\ f_\text{maks} & = f \left( \frac{\pi}{4} \right) \\ & = 2. \sin ^2 \frac{\pi}{4} . \tan \frac{\pi}{4} \\ & = 2. \left(\frac{1}{2}\sqrt{2} \right)^2 . 1 \\ & = 2. \left(\frac{1}{2} \right) . 1 \\ & = 1 \end{align} $
Jadi, nilai maksimumnya adalah $ 1 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar