Pembahasan Vektor Satuan UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan dua vektor $ \vec{u} = (1, -1, 2) $ dan $ \vec{v} = (-1,1,-1) $ . Jika vektor $ \vec{w} $ mempunyai panjang satu dan tegak lurus dengan vektor $ \vec{u } $ dan $ \vec{v} $ , maka $ \vec{w} = .... $
A). $ (0,0,0) \, $
B). $ \left( \frac{1}{2}\sqrt{2}, \frac{1}{2}\sqrt{2}, 0 \right) \, $
C). $ \left( \frac{1}{2}\sqrt{2}, -\frac{1}{2}\sqrt{2}, 0 \right) \, $
D). $ \left( -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right) \, $
E). $ \left( \frac{2}{3} , \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right) \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Perkalian Cross dua buah vektor menghasilkan suatu vektor yang tegak lurus dengan kedua vektor tersebut.
*). $ \vec{u} \times \vec{v} = \vec{c} $, artinya $ \vec{c} $ tegak lurus $ \vec{u} $ dan $ \vec{c} $ tegak lurus $ \vec{v} $.
*). Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu. Vektor satuan dari $ \vec{a} $ adalah $ \frac{1}{|\vec{a}|} \vec{a} $.
*). Panjang vektor $ \vec{a} $ disimbolkan $ |\vec{a}| $ :
Misalkan $ \vec{a} = (a_1,a_2,a_3) \rightarrow |\vec{a}| = \sqrt{a_1^1 + a_2^2 + a_3^2} $.
*). Perkalian Cross :
Misalkan $ \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) $
$ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3-a_3b_2, a_3b_1-a_1b_3, a_1b_2-a_2b_1) $
*). Sifat perkalian cross :
$ \vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $\vec{u} \times \vec{v} $ :
$ \vec{u} = (1, -1, 2) $ dan $ \vec{v} = (-1,1,-1) $
$\begin{align} \vec{u} \times \vec{v} & = (a_2b_3-a_3b_2, a_3b_1-a_1b_3, a_1b_2-a_2b_1) \\ & = ((-1).(-1) - 2.1 , 2.(-1)-1.(-1), 1.1 - (-1).(-1)) \\ & = (1 - 2 , -2 + 1, 1 -1) \\ & = (-1 , -1, 0) \end{align} $
*). Menentukan Panjang $ \vec{u} \times \vec{v} $ :
$\begin{align} |\vec{u} \times \vec{v}| & = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 0^2 } = \sqrt{2} \end{align} $
*). Menentukan vektor $ \vec{w} $ :
$\begin{align} \vec{w} & = \frac{1}{|\vec{u} \times \vec{v}|} (\vec{u} \times \vec{v}) \\ & = \frac{1}{\sqrt{2}} (-1 , -1, 0) \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2} (-1 , -1, 0) \\ & = \left( -\frac{1}{2}\sqrt{2} , - \frac{1}{2}\sqrt{2} , 0 \right) \end{align} $
atau
$\begin{align} \vec{w} & = \frac{1}{|\vec{v} \times \vec{u}|} (\vec{v} \times \vec{u}) \\ & = \frac{1}{|\vec{u} \times \vec{v}|} (-\vec{u} \times \vec{v}) \\ & = \frac{1}{\sqrt{2}} (1 , 1, 0) \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2} (1 , 1, 0) \\ & = \left( \frac{1}{2}\sqrt{2} , \frac{1}{2}\sqrt{2} , 0 \right) \end{align} $
Yang ada dijopsion adalah $ \vec{w} = \left( \frac{1}{2}\sqrt{2} , \frac{1}{2}\sqrt{2} , 0 \right) $
Jadi, $ \vec{w} = \left( \frac{1}{2}\sqrt{2} , \frac{1}{2}\sqrt{2} , 0 \right) . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar