Pembahasan Perkalian Vektor UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui vektor-vektor $ \vec{u} = a\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k} $ dan $ \vec{v} = -\vec{i}-\vec{j}-\vec{k} $ . Jika vektor $ \vec{w} $ tegak lurus vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ dengan panjang vektor $ \vec{w} $ adalah 3, maka jumlah nilai-nilai $ a $ yang memenuhi adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Perkalian Cross dua buah vektor menghasilkan suatu vektor yang tegak lurus dengan kedua vektor tersebut.
*). $ \vec{u} \times \vec{v} = \vec{c} $, artinya $ \vec{c} $ tegak lurus $ \vec{u} $ dan $ \vec{c} $ tegak lurus $ \vec{v} $.
*). Panjang vektor $ \vec{a} $ disimbolkan $ |\vec{a}| $ :
Misalkan $ \vec{a} = (a_1,a_2,a_3) \rightarrow |\vec{a}| = \sqrt{a_1^1 + a_2^2 + a_3^2} $.
*). Perkalian Cross :
Misalkan $ \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) = b_1\vec{i}+b_2\vec{j}+b_3\vec{k} $
$ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3-a_3b_2, a_3b_1-a_1b_3, a_1b_2-a_2b_1) $
*). Operasi penjumlahan akar-akar persamaan kuadrat :
Jumlah $ = \frac{-b}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $\vec{u} \times \vec{v} $ :
$ \vec{u} = \vec{u} = a\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k} = (a , 1, 2) $
dan $ \vec{v} = -\vec{i}-\vec{j}-\vec{k} = (-1,-1,-1) $
$\begin{align} \vec{u} \times \vec{v} & = (a_2b_3-a_3b_2, a_3b_1-a_1b_3, a_1b_2-a_2b_1) \\ \vec{w} & = (1.(-1)-2.(-1), 2.(-1) - a.(-1) , a.(-1) - 1.(-1)) \\ & = (-1 + 2 , -2 + a , -a + 1 ) \\ & = ( 1 , a - 2 , 1 - a) \end{align} $
*). Menyusun persamaan dengan panjang $ \vec{w} $ = 3 :
$\begin{align} |\vec{w}| & = 3 \\ \sqrt{1^2 + (a-2)^2 + (1-a)^2} & = 3 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 1^2 + (a-2)^2 + (1-a)^2 & = 9 \\ 1 + a^2 - 4a + 4 + a^2 - 2a + 1 & = 9 \\ 2a^2 - 6a - 3 & = 0 \end{align} $
Jumlah nilai $ a $ yang mungkin adalah :
Jumlah $ = \frac{-b}{a} = \frac{-(-6)}{2} = 3 $
Jadi, jumlah nilai $ a $ yang memenuhi adalah $ 3 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar