Pembahasan Barisan Aritmetika UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Empat buah bilangan merupakan suku berurutan suatu deret aritmetika. Hasil kali kedua suku tengahnya sama dengan 135 dan hasil kali kedua suku pinggirnya sama dengan 63. Jumlah kedua suku tengah tersebut adalah ....
A). $-35 \, $ atau $ 35 $
B). $-27 \, $ atau $ 27 $
C). $-24 \, $ atau $ 24 $
D). $-21 \, $ atau $ 21 $
E). $-15 \, $ atau $ 15 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika :
$ U_n = a + (n-1)b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan barisan aritmetikanya :
$ a, a+b , a + 2b , a + 3b $
*). Hasil kali dua suku tengah = 135 :
$\begin{align} (a + b).(a + 2b ) & = 135 \\ a^2 + 2ab + ab + 2b^2 & = 135 \\ (a^2 + 3ab) + 2b^2 & = 135 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Hasil kali suku pinggirnya = 63 :
$\begin{align} a . ( a + 3b) & = 63 \\ a^2 + 3ab & = 63 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Substitusi (ii) ke (i) :
$\begin{align} (a^2 + 3ab) + 2b^2 & = 135 \\ (63) + 2b^2 & = 135 \\ 2b^2 & = 72 \\ b^2 & = 36 \\ b & = \pm 6 \end{align} $
*). Persamaan (i), substitusi $ b = 6 $ :
$\begin{align} a^2 + 3ab & = 63 \\ a^2 + 3a.6 & = 63 \\ a^2 + 18a - 63 & = 0 \\ (a +21)(a - 3) & = 0 \\ a = -21 \vee a = 3 \end{align} $
*). Menyusun barisannya :
-). Untul $ b = 6 $ dan $ a = -21 $
$ a, a+b , a + 2b , a + 3b \rightarrow -21, -15, -9, -3 $
Jumlah suku tengah $ = -15 + (-9) = -24 $
-). Untul $ b = 6 $ dan $ a = 3 $
$ a, a+b , a + 2b , a + 3b \rightarrow 3, 9, 15, 21 $
Jumlah suku tengah $ = 9 + 15 = 24 $
*). Untuk $ b = -6 $, hasil jumlah suku tengahnya juga sama yaitu $ -24 $ dan $ 24 $.
Jadi, jumlah kedua suku tengahnya adalah $ -24 $ atau $ 24 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar