Pembahasan Barisan Geometri UM UGM 2007 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Suatu barisan geometri mempunyai rasio positif. Jika suku ke-3 bernilai $ 2p $ dan suku ke-2 dikurangi suku ke-4 sama dengan $ p\sqrt{2} $ , maka rasio barisan tersebut adalah ....
A). $ \sqrt{2} \, $ B). $ 2\sqrt{2} \, $ C). $ \frac{1}{2}\sqrt{2} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ \frac{1}{2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan geometri : $ U_n = ar^{n-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan pertama :
$ U_3 = 2p \rightarrow ar^2 = 2p \rightarrow a = \frac{2p}{r^2} \, $ ....(i)
*). Persamaan kedua :
$ \begin{align} U_2 - U_4 & = p\sqrt{2} \\ ar - ar^3 & = p\sqrt{2} \\ ar( 1 - r^2) & = p\sqrt{2} \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$ \begin{align} ar( 1 - r^2) & = p\sqrt{2} \\ \frac{2p}{r^2}. r( 1 - r^2) & = p\sqrt{2} \\ \frac{2p}{r }( 1 - r^2) & = p\sqrt{2} \, \, \, \, \, \, \text{(bagi } p) \\ \frac{2}{r }( 1 - r^2) & = \sqrt{2} \, \, \, \, \, \, \text{(kali } r) \\ 2( 1 - r^2) & = \sqrt{2}r \\ 2 - 2r^2 & = \sqrt{2}r \\ 2r^2 + \sqrt{2}r - 2 & = 0 \\ (2r - \sqrt{2} )( r + \sqrt{2} ) & = 0 \\ (2r - \sqrt{2} )& = 0 \rightarrow r = \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ ( r + \sqrt{2} ) & = 0 \rightarrow r = -\sqrt{2} \end{align} $
Karena rasio positif, maka $ r = \frac{1}{2}\sqrt{2} \, $ yang memenuhi.
Jadi, rasio barisannya adalah $ \frac{1}{2}\sqrt{2} . \, \heartsuit $

Catatan : Jika sulit dalam memfaktorkan langsung, teman-teman bisa menggunakan rumus ABC yaitu $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar