Pembahasan Deret Log UM UGM 2007 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika dalam suatu deret berlaku
$ {}^3 \log x + {}^3 \log ^2 x + {}^3 \log ^3 x + .... = 1 $
maka nilai $ x $ adalah ....
A). $ \frac{1}{3} \, $ B). $ \frac{\sqrt{3}}{3} \, $ C). $ \sqrt{3} \, $ D). $ \frac{2}{9} \, $ E). $ \frac{1}{9} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jumlah deret geometri tak hingga : $ S_\infty = \frac{a}{1 - r} $
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan suku pertama ($a$) dan rasio ($r$) :
$ \begin{align} {}^3 \log x & + {}^3 \log ^2 x + {}^3 \log ^3 x + .... \\ a & = {}^3 \log x \\ r & = \frac{U_2}{U_1} = \frac{{}^3 \log ^2 x}{{}^3 \log x} = {}^3 \log x \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x $ :
$ \begin{align} {}^3 \log x + {}^3 \log ^2 x + ... & = 1 \\ S_\infty & = 1 \\ \frac{a}{1 - r} & = 1 \\ \frac{{}^3 \log x}{1 - {}^3 \log x} & = 1 \\ {}^3 \log x & = 1 - {}^3 \log x \\ 2{}^3 \log x & = 1 \\ {}^3 \log x & = \frac{1}{2} \\ x & = 3^\frac{1}{2} = \sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ x = \sqrt{3} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar