Pembahasan Integral UM UGM 2007 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Perhatikan gambar di atas. Jika $ P\left( \frac{3}{2}, \frac{1}{2} \right) $ maka luas daerah terarsir adalah ....
A). $ \frac{1}{6} \, $ B). $ \frac{1}{3} \, $ C). $ \frac{5}{8} \, $ D). $ \frac{2}{3} \, $ E). $ \frac{3}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus Dasar Integral :
$ \int kx^n \, dx = \frac{k}{n+1} x^{n+1} + c $ dan $ \int k \, dx = kx + c $
*). Menentukan luas daerah menggunakan integral
Misalkan ada daerah yang dibatasi oleh dua kurva fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ seperti gambar berikut ini :
gambar 1.
Maka luas daerah tersebut dapat dihitung dengan rumus :
Luas $ = \int \limits_a^b [ f(x) - g(x)] dx $
(kurva atas kurang kurva bawah)
*). Persamaan garis melalui $ (x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2) $ :
$ \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x - x_1}{x_2-x_1} $
*). Persamaan garis memotong sumbu X di $ ( b, 0 ) $ dan sumbu Y di $ ( 0,a) $ :
$ ax + by = a.b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya :
 

*). Persamaan garis I melalui titi $ (x_1,y_1) = (0,0) $ dan $ (x_2 , y_2) = \left( \frac{3}{2}, \frac{1}{2} \right) $ :
$ \begin{align} \frac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \frac{x - x_1}{x_2-x_1} \\ \frac{y-0}{\frac{1}{2} - 0} & = \frac{x - 0 }{\frac{3}{2} - 0 } \\ 2y & = \frac{2x}{3} \\ y & = \frac{1}{3} x \end{align} $
*). Persamaan garis II memotong sumbu X dan sumbu Y :
$ \begin{align} 2x + 2y & = 4 \rightarrow x + y = 2 \rightarrow y = 2 - x \end{align} $
*). Titik potong garis II dan parabola :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 & = 2 - x \\ x^2 + x - 2 & = 0 \\ (x+2)(x-1) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 1 \end{align} $
*). Menghitung Luas Daerah Arsiran :
$ \begin{align} L & = \text{ Luas A } + \text{ Luas B} \\ & = \int \limits_0^1 ( x^2 - \frac{1}{3}x) dx + \int \limits_1^\frac{3}{2} (2-x) - \frac{1}{3}x \, dx \\ & = \int \limits_0^1 ( x^2 - \frac{1}{3}x) dx + \int \limits_1^\frac{3}{2}( 2 - \frac{4}{3}x) \, dx \\ & = ( \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{6}x^2)_0^1 + ( 2x - \frac{2}{3}x^2)_1^\frac{3}{2} \\ & = ( \frac{1}{3} .1^3 - \frac{1}{6}.1^2 ) + \left[ ( 2.\frac{3}{2} - \frac{2}{3}(\frac{3}{2})^2) - ( 2.1 - \frac{2}{3}.1^2) \right] \\ & = ( \frac{1}{3} - \frac{1}{6} ) + \left[ ( 3 - \frac{3}{2}) - ( 2 - \frac{2}{3} ) \right] \\ & = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} + 1 - \frac{3}{2} + \frac{2}{3} \\ & = \frac{2 - 1 + 6 - 9 + 4 }{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, luas daerah arsirannya adalah $ \frac{1}{3} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar