Pembahasan Terapan Turunan UM UGM 2007 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah tiga buah bilangan adalah 135. Diketahui bilangan ke-2 sama dengan dua kali bilangan ke-1. Agar hasil kali ketiga bilangan maksimum, maka selisih bilangan ke-1 dan bilangan ke-3 adalah ....
A). $ 95 \, $ B). $ 55 \, $ C). $ 35 \, $ D). $ 15 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ akan mencapai maksimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $ . (Turunan pertama fungsi = 0 ).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Meisalkan Ketiga bilangannya : $ a, b, c $
-). Jumlah = $ 135 \rightarrow a + b + c = 135 \, $ ....(i)
-). Bilangan kedua = 2 kali bilangan ke-1 :
$ b = 2a \, $ ....(ii)
*). Substitusi pers(ii) ke pers(i) :
$ \begin{align} a + b + c & = 135 \\ a + 2a + c & = 135 \\ c & = 135 - 3a \end{align} $
*). Hasil kali ketiga bilangan maksimum :
$ \begin{align} a.b.c & = a. 2a . (135 - 3a ) \\ f(a) & = 270a^2 - 6a^3 \\ f^\prime (a) & = 540a - 18 a^2 \\ \text{Syarat } f^\prime (a) & = 0 \\ 540a - 18 a^2 & = 0 \\ 18a ( 30 - a) & = 0 \\ a = 0 \vee a & = 30 \end{align} $
Artinya perkalian $ a.b.c $ akan maksimum saat $ a = 30 $
Nilai $ b = 2a = 2.30 = 60 $
Nilai $ c = 135 - 3a = 135 - 3.30 = 45 $
Sehingga selisih $ a $ dan $ c $ yaitu :
$ c - a = 45 - 30 = 15 $
Jadi, selisih $ c $ dan $ a $ adalah $ 15 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar