Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2007 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ akar-akar persamaan $ x^2 - 2x + k = 0 $ dan $ 2x_1, x_2, x_2^2 - 1 $ adalah 3 suku berturutan suatu deret aritmetika dengan beda positif, maka $ x_1^2 + x_2^2 = .... $
A). $ 4 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 10 \, $ E). $ 12 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan ada persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $, maka operasi penjumlahan akar-akarnya adalah $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $
*). Ciri-ciri barisan aritmetika : Memiliki selisih sama.
Misalkan ada barisan $ x, y, z $ maka : $ y - x = z - y $
Beda barisannya : $ b = U_2 - U_1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Penjumlahan akar pada $ x^2 - 2x + k = 0 $ :
$ \begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-(-2)}{1} \\ x_1 + x_2 & = 2 \\ x_1 & = 2 - x_2 \, \, \, \, \, \text{...(i)} \end{align} $
*). Barisan aritmetika : $ 2x_1, x_2, x_2^2 - 1 $
Selisih sama dengan beda $ = x_2 - 2x_1 $
$ \begin{align} x_2 - 2x_1 & = (x_2^2 - 1 ) - x_2 \\ x_2^2 - 2x_2 + 2x_1 - 1 & = 0 \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Substitusi (i) ke (ii) :
$ \begin{align} x_2^2 - 2x_2 + 2x_1 - 1 & = 0 \\ x_2^2 - 2x_2 + 2(2 - x_2) - 1 & = 0 \\ x_2^2 - 4x_2 + 3 & = 0 \\ (x_2 - 1)(x_2 - 3) & = 0 \\ x_2 = 1 \vee x_2 & = 3 \end{align} $
*). Menentukan barisannya dan bedanya :
-). $ x_2 = 1 \rightarrow x_1 = 2 - x_2 = 2 - 1 = 1 $
Beda $ = x_2 - 2x_1 = 1 - 2.1 = -1 $
(tidak memenuhi karena bedanya harus positif)
-). $ x_2 = 3 \rightarrow x_1 = 2 - x_2 = 2 - 3 = -1 $
Beda $ = x_2 - 2x_1 = 3 - 2.(-1) = 5 $
(memenuhi karena bedanya harus positif)
Sehingga nilai :
$ \begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = (-1)^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10 \end{align} $
Jadi, nilai $ x_1^2 + x_2^2 = 10 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar