Pembahasan Dimensi Tiga UM UGM 2007 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Alas bidang empat D.ABC berbentuk segitiga siku-siku dama kaki dengan $ \angle BAC = 90^\circ $. Proyeksi D pada segitiga ABC adalah E sehingga E merupakan titik tengah BC. Jika $ AB = AC = p $ dan $ DE = 2p $ , maka $ AD = .... $
A). $ \frac{3}{2}p\sqrt{2} \, $ B). $ \frac{3}{2}p\sqrt{3} \, $ C). $ 3p \, $ D). $ p\sqrt{6} \, $ E). $ p\sqrt{5} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Proyeksi titik ke bidang menghasilkan titik pada bidang tersebut dimana titik awal dan proyeksi membentuk garis yang tegak lurus dengan bidang proyeksinya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar
 

Panjang $ BC = p\sqrt{2} $
Panjang $ BE = \frac{1}{2}p\sqrt{2} $
*). Karena titik E adalah hasil proyeksi titik D pada bidang ABC, maka garis DE tegak lurus dengan bidang ABC, artinya garis DE tegak lurus dengan semua garis yang ada pada bidang ABC.
*). Segitiga ABE siku-siku di E sehingga :
$ \begin{align} AE & = \sqrt{AB^2 - BE^2} = \sqrt{p^2 - (\frac{1}{2}p\sqrt{2})^2} = \sqrt{\frac{2p^2}{4}} = \frac{1}{2}p\sqrt{2} \end{align} $
*). Segitiga ADE siku-siku di E :
$ \begin{align} AD & = \sqrt{AE^2+DE^2} = \sqrt{(\frac{1}{2}p\sqrt{2})^2 + (2p)^2} \\ & = \sqrt{\frac{2p^2}{4} + 4p^2} = \sqrt{\frac{18p^2}{4} } \\ & = \sqrt{\frac{9p^2}{4} \times 2 } = \frac{3}{2}p\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, panjang $ AD = \frac{3}{2}p\sqrt{2} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar