Pembahasan Pertidaksamaan UM UGM 2007 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Semua nilai $ x $ yang memenuhi $ x|x-2| < x - 2 $ adalah ....
A). $ x < -1\, $ atau $ 1 < x < 2 $
B). $ x < -2 $
C). $ -2 < x < -1 $
D). $ x < -1 $
E). $ -2 < x < 1 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi Harga Mutlak :
$ \, \, \, \, |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{ untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , \text{ untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
2). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya (+ atau $-$),
3). Arsir daerah yang dimaksud :
Jika $ > 0 $ , maka arsir yang positif,
Jika $ < 0 $ , maka arsir yang negatif.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dari definisi harga mutlak :
$ | x - 2 | = \left\{ \begin{array}{cc} x - 2 & , \text{ untuk } x \geq 2 \\ -(x - 2) & , \text{ untuk } x < 2 \end{array} \right. $
*). Menyelesaikan soal berdasarkan definisi mutlak :
-). Untuk $ x \geq 2 $ , maka $ | x - 2 | = x - 2 $
$ \begin{align} x|x-2| & < x - 2 \\ x(x - 2) & < x - 2 \\ x^2 - 2x & < x - 2 \\ x^2 - 3x + 2 & < 0 \\ (x - 1)(x - 2) & < 0 \\ x = 1 \vee x & = 2 \end{align} $
garis bilangannya :
 

penyelesaian : $ \{ 1 < x < 2 \} $
Karena syaratnya $ x \geq 2 $ , maka pada kasus pertama ini tidak nilai $ x $ yang memenuhi.

-). Untuk $ x < 2 $ , maka $ | x - 2 | = -(x - 2) = 2 - x $
$ \begin{align} x|x-2| & < x - 2 \\ x(2 - x) & < x - 2 \\ -x^2 + 2x & < x - 2 \\ -x^2 + x + 2 & < 0 \\ (-x - 1)(x -2) & < 0 \\ x = -1 \vee x & = 2 \end{align} $
garis bilangannya :
 

penyelesaian : $ \{ x < - 1 \vee x > 2 \} $
Karena syaratnya $ x < 2 $ , maka Solusinya adalah irisan dari $ \{ x < - 1 \vee x > 2 \} $ dan $ \{ x < 2 \} $ dimana hasilnya adalah $ HP = \{ x < -1 \} $
Jadi, solusinya adalah $ \{ x < -1 \} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar