Pembahasan Trigonometri UM UGM 2007 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui segitiga PQR siku-siku di P. Jika $ \sin Q \sin R = \frac{3}{10} $ dan $ \sin (Q- R) = \frac{5}{2}a $ , maka nilai $ a = .... $
A). $ \frac{2}{7} \, $ B). $ \frac{1}{3} \, $ C). $ \frac{1}{5} \, $ D). $ \frac{8}{25} \, $ E). $ \frac{4}{25} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus trigonometri :
$ \cos (A + B ) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $
$ \cos (A - B ) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $
*). Rumus dasar perbandingan trigonometri segitiga siku-siku :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} \, $ dan $ \cos x = \frac{samping}{miring} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Segitiga PQR siku-siku di P sehingga :
$ \begin{align} P + Q + R & = 180^\circ \\ 90^\circ + Q + R & = 180^\circ \\ Q + R & = 90^\circ \\ \cos (Q + R) & = \cos 90^\circ \\ \cos Q \cos R - \sin Q \sin R & = 0 \\ \cos Q \cos R & = \sin Q \sin R \\ \cos Q \cos R & = \frac{3}{10} \end{align} $
*). Dari $ \sin (Q - R) = \frac{5a}{2} = \frac{de}{mi} $
Sehingga :
$ samping = \sqrt{mi^2 - de^2} = \sqrt{2^2 - (5a)^2 } = \sqrt{4 - 25a^2} $
Nilai $ \cos (Q-R) = \frac{sa}{mi} = \frac{\sqrt{4 - 25a^2}}{2} $
*). Menentukan nilai $ a $ :
$ \begin{align} \cos (Q-R) & = \frac{\sqrt{4 - 25a^2}}{2} \\ \cos Q \cos R + \sin Q \sin R & = \frac{\sqrt{4 - 25a^2}}{2} \\ \frac{3}{10} + \frac{3}{10} & = \frac{\sqrt{4 - 25a^2}}{2} \\ \frac{6}{10} & = \frac{\sqrt{4 - 25a^2}}{2} \\ \frac{3}{5} & = \frac{\sqrt{4 - 25a^2}}{2} \, \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \frac{9}{25} & = \frac{ 4 - 25a^2 }{4} \\ 25( 4 - 25a^2) & = 36 \\ 100 - 625a^2 & = 36 \\ 625a^2 & = 64 \\ a^2 & = \frac{64}{625} \\ a & = \sqrt{ \frac{64}{625} } = \frac{8}{25} \end{align} $
Jadi, nilai $ a = \frac{8}{25} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar