Pembahasan Vektor UM UGM 2007 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui vektor-vektor $ \vec{a} = (2,2,z) $ , $ \vec{b}= (-8,y,-5 ) $ dan $ \vec{d} = (2x,22-z,8) $ . Jika vektor $ \vec{ a } $ tegak lurus dengan vektor $ \vec{b } $ dan vektor $ \vec{ c } $ sejajar dengan $ \vec{ d} $ , maka $ y + z = .... $
A). $ 5 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ -5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar vektor
*). Mislkan terdapat vektor $ \vec{a} = (a_1,a_2,a_3) \, $ dan $ \vec{b} = (b_1,b_2,b_3) $
-). Perkalian dot :
$ \vec{a} . \vec{b} = a_1.b_1 + a_2.b_2 + a_3.b_3 $
-). syarat vektor $ \vec{a } $ tegak lurus $ \vec{b} $ :
$ \vec{a} . \vec{b} = 0 $
-). syarat vektor $ \vec{a } $ sejajar $ \vec{b} $ :
$ \vec{a} = n .\vec{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). vektor $ \vec{a } $ tegak lurus $ \vec{b} $
$ \begin{align} \vec{a} . \vec{b} & = 0 \\ -8.2 + 2.y + (-5). z & = 0 \\ 2y - 5z & = 16 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). vektor $ \vec{c } $ sejajar $ \vec{d} $
$ \begin{align} \vec{c} & = n .\vec{d} \\ \left( \begin{matrix} x \\ 4y \\ 4 \end{matrix} \right) & = n.\left( \begin{matrix} 2x \\ 22-z \\ 8 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ 4y \\ 4 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2nx \\ n(22-z) \\ 8n \end{matrix} \right) \\ 4 & = 8n \rightarrow n = \frac{1}{2} \end{align} $
Sehingga :
$ 4y = n (22-z) \rightarrow 4y = \frac{1}{2}(22-z) $
$ \rightarrow 8y = 22- z \rightarrow z = 22 - 8y $
*). Substitusi $ z = 22 - 8y $ ke pers(i) :
$ \begin{align} 2y - 5z & = 16 \\ 2y - 5( 22 - 8y) & = 16 \\ 2y -110 + 40y & = 16 \\ 42y & = 126 \\ y & = 3 \end{align} $
Nilai $ z = 22 - 8y = 22 - 8.3 = 22 - 24 = -2 $
Nilai $ y + z = 3 + (-2) = 1 $
Jadi, nilai $ y + z = 1 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar