Pembahasan Dimensi Tiga UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Pada kubus ABCD.EFGH, P pada EG sehingga $ EP = 3PG $. Jika jarak E ke AP adalah $ a $, maka rusuk kubus tersebut adalah ....
A). $ \frac{a}{3}\sqrt{15} \, $ B). $ \frac{4a}{3} \, $ C). $ \frac{a}{3}\sqrt{17} \, $ D). $ a\sqrt{2} \, $ E). $ \frac{a}{2}\sqrt{5} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menentukan panjang pada dimensi tiga bisa menggunakan perbandingan luas segitiga.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar
 

Misalkan panjang rusuk kubus $ = x $.
Jarak titik E ke AP adalah panjang $ EM = a $
Panjang $ EG = x\sqrt{2} \, $ (diagonal bidang)
Panjang $ EP = \frac{3}{4}EG = \frac{3}{4}x\sqrt{2} $
*). Panjang AP pada segitiga AEP :
$ \begin{align} AP & = \sqrt{AE^2 + EP^2} \\ & = \sqrt{x^2 + (\frac{3}{4}x\sqrt{2} )^2} \\ & = \sqrt{x^2 + \frac{18}{16}x^2} = \sqrt{\frac{34}{16}x^2} \\ & = \frac{x}{4}\sqrt{34} = \frac{x}{4}\sqrt{2}.\sqrt{17} \end{align} $
*). Perhatikan segitiga AEP :
$ \begin{align} \text{Luas AEP, alas AP } & = \text{Luas AEP, alas EA} \\ \frac{1}{2}.AP.EM & = \frac{1}{2}.AE.EP \\ AP.EM & = AE.EP \\ \frac{x}{4}\sqrt{2}.\sqrt{17} .a & = x . \frac{3}{4}x\sqrt{2} \\ \sqrt{17} .a & = 3x \\ x & = \frac{a}{3}\sqrt{17} \end{align} $
Jadi, panjang rusuk kubus adalah $ \frac{a}{3}\sqrt{17} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar