Pembahasan Dimensi Tiga UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk AB adalah $ a $. Jika $ \alpha $ adalah sudut antara bidang TAB dan ABCD dengan $ \sin \alpha = \frac{3}{5} $ , maka panjang rusuk TA adalah ....
A). $ \frac{a}{8}\sqrt{44} \, $ B). $ \frac{a}{8}\sqrt{42} \, $ C). $ \frac{a}{10}\sqrt{41} \, $ D). $ \frac{a}{9}\sqrt{41} \, $ E). $ \frac{a}{8}\sqrt{41} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus Dasar perbandingan trigonometri :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} \, $ dan $ \cos x = \frac{samping}{miring} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar:
 

Sudut antara TAB adan ABCD adalah $ \angle TEO = \alpha $
Nilai $ \sin \alpha = \frac{3}{5} $ sehingga $ \cos \alpha = \frac{4}{5} $.
Panjang $ EO = EA = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2}a $
Segitiga TAE siku-siku di E.
*). Menentukan Panjang TE dari $ \Delta TOE $ :
$ \begin{align} \cos \alpha & = \frac{4}{5} \\ \frac{EO}{TE} & = \frac{4}{5} \\ \frac{\frac{1}{2}a}{TE} & = \frac{4}{5} \\ TE & = \frac{5}{8} a \end{align} $
*). Menentukan Panjang TA dari $ \Delta TAE $ :
$ \begin{align} TA & = \sqrt{TE^2 + EA^2 } \\ & = \sqrt{\left(\frac{5}{8} a\right)^2 + \left(\frac{1}{2} a\right)^2 } \\ & = \sqrt{\frac{25}{64} a^2 + \frac{1}{4} a^2 } \\ & = \sqrt{\frac{41}{64} a^2 } = \frac{a}{8}\sqrt{41} \end{align} $
Jadi, panjang $ TA = \frac{a}{8}\sqrt{41} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar