Pembahasan Pertidaksamaan UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas
Pertaksamaan $ \frac{x-2}{2x+3} < 1 $ dapat ditulis sebagai $ |4x+a|>b $ , dengan nilai $ a $ dan $ b $ berturut-turut adalah ....
A). $ 7 \, $ dan $ 13 $
B). $ 13 \, $ dan $ 7 $
C). $ 6 \, $ dan $ 13 $
D). $ 13 \, $ dan $ -6 $
E). $ -13 \, $ dan $ 7 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat pertidaksamaan mutlak :
$ |f(x)| > b \rightarrow f(x) < -b \, $ atau $ f(x) > b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan pertidaksamaan pertama :
$ \begin{align} \frac{x-2}{2x+3} & < 1 \\ \frac{x-2}{2x+3} - 1 & < 0 \\ \frac{x-2}{2x+3} - \frac{2x+3}{2x+3} & < 0 \\ \frac{-x-5}{2x+3} & < 0 \end{align} $
Akar-akar pembilang dan penyebutnya :
$ -x - 5 = 0 \rightarrow x = -5 $
$ 2x + 3 = 0 \rightarrow x = -\frac{3}{2} $
Garis bilangannya :
 

Sehingga solusinya : $ x < -5 \vee x > -\frac{3}{2} $
*). Bentuk $ |4x + a | > b $ memiliki solusi yang sama dengan $ \frac{x-2}{2x+3} < 1 $ yaitu $ x < -5 \vee x > -\frac{3}{2} $
*). Sifat pertidaksamaan Mutlak
$ |4x + a| > b \, $ memiliki solusi :
$ \begin{align} 4x + a < -b \, & \vee \, 4x + a > b \\ 4x < -b - a \, & \vee \, 4x > b - a \\ x < \frac{-b - a}{4} \, & \vee \, x > \frac{b - a}{4} \\ \text{ yang sama } & \text{ dengan } \\ x < -5 \, & \vee \, x > -\frac{3}{2} \end{align} $
Sehingga kita peroleh persamaan :
$ \frac{-b - a}{4} = -5 \rightarrow a + b = 20 \, $ ....(i)
$ \frac{b - a}{4} = -\frac{3}{2} \rightarrow -a + b = -6 \, $ ....(ii)
Selesaikan kedua persamaan ini, kita peroleh $ a = 13 $ dan $ b = 7 $.
Jadi, nilai $ a = 13 $ dan $ b = 7 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar