Pembahasan Sistem Persamaan UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah kuadrat semua nilai $ y $ yang memenuhi sistem persaman
$ \begin{align} & 2x^2 - 6y^2 + 3x + y - 1 = 0 \\ & x - 2y - 1 = 0 \end{align} $
adalah ....
A). $ \frac{215}{4} \, $ B). $ \frac{213}{4} \, $ C). $ \frac{211}{4} \, $ D). $ \frac{209}{4} \, $ E). $ \frac{207}{4} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan persamaan kuadrat $ ay^2 + by + c = 0 $ dengan akar-akar $ y_1 $ dan $ y_2 $
*). Operasi akar-akarnya :
$ y_1 + y_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ y_1.y_2 = \frac{c}{a} $
$ y_1^2 + y_2^2 = (y_1+y_2)^2 - 2y_1.y_2 $
*). Jumlah kuadrat dari $ a $ dan $ b $ dapat ditulis
Jumlah kuadrat $ \, = a^2 + b^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaan kedua :
$ x - 2y -1 = 0 \rightarrow x = 2y + 1 $
*). Substitusi pers(ii) ke pers(i) :
$ \begin{align} 2x^2 - 6y^2 + 3x + y - 1 & = 0 \\ 2(2y + 1)^2 - 6y^2 + 3(2y + 1) + y - 1 & = 0 \\ 2y^2 + 15y + 4 & = 0 \\ a = 2, b = 15 , c & = 4 \\ y_1 + y_2 = \frac{-b}{a} & = \frac{-15}{2} \\ y_1 . y_2 = \frac{c}{a} = \frac{4}{2} & = 2 \end{align} $
*). Menentukan jumlah kuadrat nilai $ y $ :
$ \begin{align} y_1^2 + y_2^2 & = (y_1+y_2)^2 - 2.y_1.y_2 \\ & = \left(\frac{-15}{2} \right) ^2 - 2.2 \\ & = \frac{225}{4} - 4 = \frac{225}{4} - \frac{16}{4} \\ & = \frac{209}{4} \end{align} $
Jadi, jumlah kuadrat nilai $ y $ adalah $ \frac{209}{4} . \, \heartsuit $


Tidak ada komentar:

Posting Komentar