Pembahasan Limit Trigonometri UM UGM 2006 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x\cos x} \right) = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ 0 $ D). $ \frac{1}{2} $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat Limit Trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b} $
*). Rumus Trigonometri :
$ \cos x = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah bentuk trigonometri :
$\begin{align} \cos x - 1 & = (1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x) - 1 \\ & = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x \\ & = - 2\sin \frac{1}{2} x . \sin \frac{1}{2} x \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x\cos x} \right) & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( \frac{\cos x }{x\cos x} - \frac{1}{x\cos x} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, \frac{\cos x - 1 }{x\cos x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, \frac{- 2\sin \frac{1}{2} x . \sin \frac{1}{2} x }{x\cos x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, -2 \times \frac{\sin \frac{1}{2} x }{x } \times \frac{ \sin \frac{1}{2} x }{\cos x} \\ & = -2 \times \frac{\frac{1}{2} }{1 } \times \frac{ \sin ( \frac{1}{2} . 0 ) }{\cos 0} \\ & = -2 \times \frac{1}{2} \times \frac{ 0 }{1} \\ & = -2 \times \frac{1}{2} \times 0 = 0 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 0 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar