Pembahasan Turunan Aljabar UM UGM 2006 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ y = \left( a^\frac{2}{3} - x^\frac{2}{3} \right)^\frac{3}{2} $ , maka $ \frac{dy}{dx} \, $ adalah
A). $ -1 $
B). $ -\frac{3}{2}\sqrt[3]{a^2 - x^2} $
C). $ -\sqrt{\frac{a^2}{x^2} - 1} $
D). $ -\sqrt{\sqrt[3]{\frac{a^2}{x^2}} - 1} $
E). $ -\sqrt{\sqrt[3]{\frac{a^2}{x^2} - 1 }} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Turunan Fungsi :
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n. [f(x)]^{n-1} . f^\prime (x) $
$ y = x^n \rightarrow y^\prime = n. x^{n-1} $
*). Sifat-sifat Eksponen :
1). $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \, $
2). $ \frac{a^n}{a^n} = (\frac{a}{b})^n $
3). $ a^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{a} $
4). $ a^\frac{1}{2} = \sqrt{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Simbol $ \frac{dy}{dx} \, $ artinya turunan fungsi $ y = f(x) $ terhadap $ x $ (variabel $ x $ yang diturunkan sehingga aljabar yang lainnya dianggap sebagai konstanta).
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} y & = \left( a^\frac{2}{3} - x^\frac{2}{3} \right)^\frac{3}{2} = [f(x)]^\frac{3}{2} \\ f(x) & = a^\frac{2}{3} - x^\frac{2}{3} \rightarrow f^\prime (x) = -\frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} \\ y & = [f(x)]^\frac{3}{2} \\ y^\prime & = \frac{2}{3} [f(x)]^{\frac{3}{2} - 1} . f^\prime (x) \\ y^\prime & = \frac{3}{2} . \left( a^\frac{2}{3} - x^\frac{2}{3} \right)^{\frac{1}{2} } . -\frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} \\ & = \frac{3}{2} .-\frac{2}{3} . \left( a^\frac{2}{3} - x^\frac{2}{3} \right)^{\frac{1}{2} } . \frac{1}{x^\frac{1}{3}} \\ & = - \left( \frac{\left( a^\frac{2}{3} - x^\frac{2}{3} \right)^{\frac{1}{2} } }{ x^\frac{1}{3}} \right) = - \left( \frac{\left( a^\frac{2}{3} - x^\frac{2}{3} \right)^{\frac{1}{2} } }{ (x^\frac{1}{3})^{2 . \frac{1}{2} }} \right) \\ & = - \left( \frac{\left( a^\frac{2}{3} - x^\frac{2}{3} \right)^{\frac{1}{2} } }{ (x^\frac{2}{3})^ \frac{1}{2} } \right) = - \left( \frac{ a^\frac{2}{3} - x^\frac{2}{3} }{ x^\frac{2}{3} } \right)^\frac{1}{2} \\ & = - \left( \frac{ a^\frac{2}{3} }{ x^\frac{2}{3} } - \frac{ x^\frac{2}{3} }{ x^\frac{2}{3} } \right)^\frac{1}{2} = - \left( \frac{ a^\frac{2}{3} }{ x^\frac{2}{3} } - 1 \right)^\frac{1}{2} \\ & = - \left( \left( \frac{ a^2 }{ x^2 } \right)^\frac{1}{3} - 1 \right)^\frac{1}{2} = - \sqrt{ \sqrt[3]{ \frac{ a^2 }{ x^2 } } - 1 } \end{align} $
Jadi, bentuk $ f^\prime (x) = - \left[ 1 + \left( f(x) \right)^2 \right] . \, \heartsuit $

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