Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika kedua akar persamaan kuadrat $ x^2 - px + p = 0 $ bernilai positif, maka jumlah kuadrat akar-akar itu mempunyai ekstrem ....
A). minimum $ - 1 $
B). maksimum $ - 1 $
C). minimum $ 8 $
D). maksimum $ 8 $
E). minimum $ 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Kuadrat (PK) :
*). PK $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akarnya :
$ x_1+x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
-). Jumlah kuadrat $ = x_1^2 + x_2^2 $
Penjabarannya : $ x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2.x_1x_2 $
-). Syarat akar-akar positif :
i). $ x_1+x_2 > 0 $
ii). $ x_1.x_2 > 0 $
iii). $ D \geq 0 \, $ , dengan $ D = b^2 - 4ac $
(ketiga syarat diiriskan hasilnya)
*). Syarat nilai maksimum atau minimum : turunan pertama $ = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ x^2 - px + p = 0 $ dengan $ a = 1, b = -p, c = p $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-p)}{1} = p $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{p}{1} = p $
$ D = b^2 - 4ac = (-p)^2 - 4.1.p = p^2 - 4p = p(p-4) $
*). Menentukan syarat nilai $ p $ agar akar-akarnya positif :
i). Syarat Pertama : $ x_1 + x_2 > 0 $
$\begin{align} x_1 + x_2 > 0 \rightarrow p > 0 \, \, \, \, \, \, (HP_1) \end{align} $
ii). Syarat Kedua : $ x_1 . x_2 > 0 $
$\begin{align} x_1 . x_2 > 0 \rightarrow p > 0 \, \, \, \, \, \, (HP_2) \end{align} $
iii). Syarat Ketiga : $ D \geq 0 $
$\begin{align} D \geq 0 \rightarrow p(p-4) \geq 0 \rightarrow p = 0 \vee p = 4 \end{align} $
garis bilangannya :
 

Solusi syarat ketiga : $ HP_3 = p \leq 0 \vee p \geq 4 $
Sehingga solusi total syarat akar-akar positif :
$ HP = HP_1 \cap HP_2 \cap HP_3 = \{ p \geq 4 \} $.
Artinya PK $ x^2 -px + p = 0 $ memiliki akar-akar positif untuk $ p \geq 4 $.
*). Bentuk jumlah kuadratnya : $ x_1^2 + x_2^2 $
$\begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = (x_1+x_2)^2 - 2.x_1x_2 = p^2 - 2p \end{align} $
*). Bentuk $ p^2 - 2p $ adalah fungsi kuadrat dengan $ a = 1 > 0 $ sehingga nilainya minimum pada saat :
$ f(p) = p^2 - 2p \rightarrow f^\prime (p) = 0 \rightarrow 2p - 2 = 0 \rightarrow p = 1 $.
Padahal syaratnya $ p \geq 4 $, maka agar $ p^2 - 2p $ minimum kita pilih nilai $ p $ yang mendekati 1 yaitu $ p = 4 $.
*). Mentukan nilai minimum $ x_1^2 + x_2^2 $ pada saat $ p = 4 $ :
$\begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = p^2 - 2p = 4^2 - 2.4 = 8 \end{align} $
Jadi, nilai minimum jumlah kuadratnya adalah $ 8 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar